13. Метод Гаусса.

Пусть дана система ур-й:

Метод Гаусса состоит в том, что система (1) с произвольной матрицей А приводится к системе (3), где – верхняя треугольная матрица.

Из сис-мы (3) из посл-го ур-я нах x_n, из предпосл-го x_n_-1 и т д. Сведение сис-мы (1) к к сис-ме (3) наз прямым ходом метода Гаусса, а нах-ние x_n, x_n_-1,
…,x₁обратным ходом.

При вычислении по этому методу велика вер-ть ошибок. Поэтому вводят контр столбец , где . Эл-ты контр столбца преобр по тем же ф-лам что и эл-ты строк матрицы, а затем провер рав-ство суммы эл-тов преобр-х строки и контр эл-та. Они должны совп с точностью до 1-2 единиц последнего разряда. При необходимости т/ой же контроль и в оьратном ходе м-да Гаусса м проводить.

Mетод Гаусса с выбором главного элемента решения СЛАУ.

Сначала выбираем ур-е, содержащее наибольший по абсол величине коэф-т, и делим данное ур-ние на этот коэф. Если этот эл-нт стоит при х_1,то при х₁ получится 1 и с пом этой 1 исключим перем х₁ из всех ост ур-ний. Если же гл эл-нт не при х₁, то для удобства его надо переставить в первую строку в первый столбец.

Далее, оставляя неизменным ур-ние с гл эл, ищут наиб по абс величине коэф в ост ур-ниях, делят на него ур-ние, в кот нах-ся, и искл-ют из ост ур-ний соотв-щее неизвестное. В рез-те получ матрица диагонального вида.

Вычисление определителя.

Идея способа Гаусса посл-ного исключения неизв перем в системе ур-й также м б перенесена на задачу выч-ния определителя, только здесь она переходит в способ послед-го понижения порядка n опр-ля. Рассмотрим схему единственного деления. Пусть дан определитель

Выберем ведущий элемент первого шага преобразований. Он д б отличным от 0; чтобы избежать сильного разброса в порядках чисел, за него принимают либо наиб по модулю элемент опр-ля D, либо наиб эл-нт в избранной строке или избранном столбце. Выполняя т. о. перестановку строк и столбцов, можно считать, что за ведущий элемент принят . Вынося из первой строки (столбца) за знак D, приведем определитель к виду

Умножая первую строку последовательно на , , …, и вычитая из второй, третьей и т.д. строк, получим

Этим мы понизим порядок определителя на единицу и можем перейти ко второму шагу преобразований, применяя к полученному порядку n-1 такие же преобразования. Выполнив все n шагов, найдем определитель D как произведение ведущих элементов:

14. Обращение матриц и уточнение приближенной обратной матрицы.

Пусть дана невырожд (неособен) матрица, т е детерминант А 0.

. Для невырожд матрицы всегда обратная:

1) А^-1= , где A_ij=(-1)ⁱ⁺^j∙M_ij. Здесь нам придется выч-ть один опр-ль n-го порядка и n² опр-ль (n-1)-го порядка.

2) Если обозн через x=A^-1, то обр матр будет решением матр-го ур-я Ax=E, т е . Решая данное ур-ние, будем иметь дело с n-системами ур-ний, сод-щих n² переменных .