24. Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.

Точное вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница выглядит так:

, где F(x) – первообразная для f(x), т.е. (x)=f(x).

Использование этой формулы не всегда предоставляется возможным, т.к. первообразная подынтегральной ф-ции не всегда выражается в интегральных ф-ях – не берущийся интеграл, или не целесообразно,т.к. нахождение первообразной часто связано с очень громоздкими преобразованиями. В этих случаях, а так же, когда подынтегральная ф-ция задана таблично целесообразно вычислять определенные интегралы приближенно. Существуют различные методы численного интегрирования.

Формулы Ньютона-Котеса.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл Заменим подынтегральную ф-цию ее интерполяционным многочленом (x), т.е. f(x)= (x)+ (x), тогда (x)= (x)= (x), где , =

Очевидно, что коэффициенты зависят от узлов интерполяции . Таким образом, мы можем записать, что В этой формуле правая часть называется квадратурной суммой, - квадратурные коэффициенты, – квадратурные узлы.

В то же время - формула механических квадратур.

Введем новую переменную t=

x- =x-( )=(x- )-ih=th-ih=(t-i)h

(x)=(x- )(x- )…(x- )=th(t-1)h*…*(t-n)h= (t-n)= , где

=( …(i-n)h=( )( )=

Отсюда получим:

= – формула показывает, что квадратурные коэффициенты зависят от отрезка интегрирования, т.к. в формуле присутствует h (шаг). Введем коэффициенты которые будут получаться:

= , h= , тогда

Коэффициенты уже не зависят от h, а только лишь от числа точек разбиения.

Таким образом, окончательно мы можем записать:

=(b-a) - квадратурная формула Ньютона-Котеса.

Коэффициенты носят название коэффициентов Ньютона-Котеса.

25. Численное интегрирование. Квадратурная формула трапеций. Квадратурная формула Ньютона-Котеса имеет вид: , где и Найдем явный вид коэффициентов (при n=1 имеет 2 узла: ): Таким образом, формула трапеции имеет вид: .

Выделим остаточный член для трапеции ( ), если в общем случае . В нашем случае . Тогда =

Если - непрерывна на отрезке [a,b], то так как множитель сохраняет знак на этом отрезке, то на нем существует такая точка η, что = , где Следовательно, , где

Для увеличения точности формулы трапеции разделим отрезок [a,b] на n частей длины и рассмотрим Тогда общая квадратурная формула трапеции имеет вид:

.

Остаточный член формулы имеет вид:

, где

26. Численное интегрирование. Квадратурная формула Симпсона.

Пусть n=2, тогда коэффициенты в формуле Ньютона-Котеса равны Из формулы Ньютона-Котеса следует формула Симпсона: , где

Если отрезок [a,b] разбить на четное число n=2m, тогда и

Общая квадратурная формула Симпсона: Остаточный член: , где

Остаточный член в формуле трапеции уменьшается пропорционально величине , а в формуле параболы - . Формула Симпсона сущ-но точнее, чем формулы прямоугольников и трапеций.