3. Выражение является полным дифференциалом.

4. Во всех точках области выполняется равенство

Интегрирование полных дифференциалов.

Если является полным дифференциалом какой-нибудь функции , то эта функция выражается через криволинейный интеграл следующим образом:

, где криволинейный интеграл вычисляется по любой линии от произвольной точки до переменной точки .

Криволинейный интеграл первого рода по пространственным линиям.

Определение. Криволинейным интегралом первого рода (по длине) (по линии ) называется предел интегральной суммы при условии, что наибольшая длина участка разбиения стремится к нулю.

Криволинейным интегралом второго рода (по координатам) (по линии ) называется предел интегральной суммы при условии, что наибольшая длина участка разбиения стремится к нулю.

Лекция 6. Поверхностный интеграл.

Поверхностный интеграл первого рода.Определение. Пусть гладкая поверхность и непрерывная функция трех переменных , заданная на поверхности . Разобьем поверхность на частей. Пусть площадь го участка поверхности. На каждом участке возьмем произвольную точку и построим интегральную сумму:

Поверхностным интегралом первого рода (по поверхности ) называется предел интегральной суммы при условии, что наибольший диаметр участка разбиения стремится к нулю.

Свойства поверхностного интеграла первого рода.

равен площади поверхности .

Линейное свойство. Если поверхность разбита на части и , то . Если во всех точках поверхности , то . .

Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

Пусть поверхность задана уравнением , где функция и ее частные производные непрерывны в области (проекция поверхности на плоскость ), тогда

.

Определение. Поверхностным интегралом второго рода (по поверхности ) называется предел интегральной суммы при условии, что при наибольший диаметр участка разбиения стремится к нулю.

Аналогичным образом определяются поверхностные интегралы второго рода:

Свойства поверхностного интеграла второго рода.

Поверхностный интеграл второго рода меняет знак при перемене стороны поверхности. Линейные свойства: а) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. б) Интеграл суммы равен сумме интегралов.

Если поверхность разбита на две непересекающиеся части и , то интеграл по поверхности равен сумме интегралов по ее частям: а) Если цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси , то . б) Если цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси , то… в) Если цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси , то…

Вычисление поверхностного интеграла второго рода.

а) Пусть двусторонняя поверхность заданная уравнением , где непрерывная функция, заданная в замкнутой области которая является проекцией поверхности на плоскость , а непрерывная функция на поверхности Тогда .

Перед интегралом ставится знак « + », если угол между нормалью к поверхности и осью является острым Перед интегралом ставится знак « ─ », если угол между нормалью к поверхности и осью является тупым . Интеграл равен 0, если угол между нормалью к поверхности и осью равен , то есть поверхность цилиндрическая с образующими, параллельными оси .

б).

Интеграл равен 0, если угол между нормалью к поверхности и осью равен , то есть поверхность цилиндрическая с образующими, параллельными оси .

в) .

Интеграл равен 0, если угол между нормалью к поверхности и осью равен , то есть поверхность цилиндрическая с образующими, параллельными оси

Лекция7. Теория поля.

Определение. Если в каждой точке области задано число (на множестве задана скалярная функция точки ), то множество вместе с числами, определяемыми этой функцией, называется скалярным полем. Если принадлежит плоскости, поле называется плоским. Пусть введена система координат , тогда скалярное поле записывается как функция двух переменных . Определение. Поверхностью уровня скалярного поля называется множество его точек, в которых скалярная функция имеет постоянное значение:

( произвольная постоянная)

Вектор нормали к этой поверхности (см.6.1.2) в точке имеет координаты

Определение. Величина, которая характеризует скорость изменения скалярного поля в точке в направлении вектора , называется производной поля по направлению.

Пусть задано скалярное поле (функция трех переменных): . Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и во всех точках ее имеет непрерывные частные производные.

Пусть некоторое направление, заданное единичным вектором , где направляющие косинусы . При перемещении в данном направлении из точки в точку находящейся в указанной окрестности, функция получит приращение , которое называется приращением функции в данном направлении .

Определение. Производной скалярного поля в точке по направлению называется .

Определение. Градиентом скалярного поля (функции) называется вектор, координатами которого служат значения частных производных этой функции:

.

Свойства градиента.

1)

2) 3) Уравнение поверхности уровня, проходящей через точку , запишется в виде . Уравнение нормали к этой поверхности вид: Координаты направляющего вектора этой прямой совпадают с координатами градиента.

Определение векторного поля. Если в каждой точке области задан вектор, то множество вместе с соотнесенными к этим точкам векторами называется векторным полем Если в области введена система координат, то . Определение. Векторное поле называется плоским, если в выбранной системе координат его координаты не зависят от одной из трех переменных и одна из координат вектора равна нулю.

Поток вектора.Определение. Пусть дано векторное поле (см.7.3.1.) . Возьмем в этом поле двустороннюю поверхность и выберем определенную сторону. Обозначим через единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности. Здесь углы между вектором и осями координат. Рассмотрим интегральную сумму , где точка векторного поля, принадлежащая тому элементарному участку, единичный вектор нормали к поверхности в точке , а значение векторного

поля в этой точке. площадь элементарного участка. скалярное произведение векторов.

Потоком вектора (потоком векторного поля) через поверхность называется предел интегральной суммы при условии, что наибольший диаметр участка разбиения стремится к нулю.

Поток вектора в координатной форме. Если векторное поле записано в координатной форме, то Так как то в координатной форме поток будет иметь вид:

Дивергенция.Рассмотрим некоторую точку векторного поля и окружим ее замкнутой поверхностью , целиком содержащейся в поле. Определение. Дивергенцией (расходимостью векторного поля ) в точке называется предел отношения потока вектора через поверхность, окружающую точку к объему , ограниченному этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку.

Теорема. Дивергенция векторного поля в точке выражается формулой: .

Лекция 8. Теория поля.ΙΙ.

Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме.

Поток вектора изнутри замкнутой поверхности равен тройному интегралу от дивергенции поля по объему, ограниченному этой поверхностью. (Без доказательства.)

Формула Остроградского-Гаусса в координатной форме. Для поверхностных интегралов имеет место формула, которая связывает тройной интеграл по некоторому объему, с поверхностным интегралом по замкнутой поверхности, ограничивающей этот объем.

Определение. Линейным (криволинейным) интегралом векторного поля вдоль кривой называется предел интегральной суммы при условии, что наибольшая длина участка разбиения стремится к нулю.

Определение. Циркуляцией вектора вдоль замкнутого контура называется криволинейный интеграл векторного поля по этому контуру

.

Так как вектор , а , то координатная форма циркуляции в пространственном поле:

Определение. Ротором векторного поля называется вектор .

Условная запись

Формула Стокса в векторной форме. Поток ротора векторного поля через поверхность равен циркуляции поля по границе этой поверхности. (Без доказательства.)

Формула Стокса в координатной форме. Для поверхностных интегралов имеет место формула, аналогичная формуле Грина для криволинейных интегралов, которая связывает поверхностный интеграл с криволинейным интегралом по контуру, который ограничивает поверхность. Теорема. Пусть функции непрерывны вместе со своими частными производными в некоторой трехмерной области. Тогда для любой гладкой поверхности , лежащей в этой области и имеющей в качестве границы линию , верна Формула Стокса.

Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка. Операции взятия градиента скалярного поля, дивергенции и ротора векторного поля записываются с помощью оператора Гамильтона (оператора набла: ), а именно:

(произведение вектора на скаляр).

(скалярное произведение вектора на вектор).

(векторное произведение векторов).

Определение. Оператор (скалярное произведение оператора набла на себя) называется оператором Лапласа.

Доказать самостоятельно соотношение:

Операции второго порядка:

а) ;

Доказательство. (см. 7.2.1.)

(см. 7.5.1.), следовательно, или .

б) ; в) ; г) ;

д) .(без доказательства)

_{Потенциальное} поле.Определение. Векторное поле

называется потенциальным полем если существует такое скалярное поле , что .

Определение. Если потенциальное поле- поле градиента некоторой функции , то функция называется скалярным потенциалом этого поля.

Теорема. Для того, чтобы векторное поле было потенциальным полем, необходимо и достаточно, чтобы .

Формула нахождения потенциала этого поля.

Пусть задано векторное поле. Точка -фиксированная точка этого поля, - точка этого поля, в которой определяется потенциал.

Тогда потенциал определяется (с точностью до постоянной) по формуле:

.Этот интеграл не зависит от пути интегрирования (без доказательства)

_{Частные случаи}. Если в выбранной системе координат координаты вектора не зависят от одной из переменных и одна из проекций равна нулю, то поле называется плоским:

_{В случае а) потенциал определяется по формуле:}

.

Соленоидальное поле.Определение. Векторное поле

называется соленоидальным (трубчатым) полем, если существует другое векторное поле такое, что что .

Определение. Если соленоидальное поле- поле ротора некоторого векторного поля , то вектор называется векторным потенциалом этого поля.

Теорема. Для того, чтобы векторное поле было соленоидальным полем, необходимо и достаточно, чтобы .

Лекция 9. Дифференциальные уравнения І порядка.

Определение. Дифференциальным уравнением І порядка называется уравнение, содержащее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и производную неизвестной функции.

1) уравнение, решенное относительно .

2) Уравнение, записанное в виде:

3) уравнение, не решенное относительно .

Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вместе со своей производной превращает его в тождество.

Дифференциальное уравнение І порядка имеет бесчисленное множество решений, которые определяются формулой (в явном виде) или (в неявном виде), содержащей произвольную постоянную . Это множество решений называется общим решением дифференциального уравнения.

Теорема Коши для уравнения І порядка. Пусть дано уравнение и начальные условия: . Если функция и частная производная непрерывны в некоторой открытой области , содержащей точку , то в достаточно малом интервале дифференциальное уравнение имеет единственное частное решение такое, что

З амечание1. Из теоремы Коши следует, что в области уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Действительно, считая постоянным и изменяя в некоторых пределах, получим для каждого свое решение .

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Определение. Уравнение вида называется уравнением с разделяющимися переменными.

(Другая форма уравнения с разделяющимися переменными: ).

Решение уравнения с разделяющимися переменными.

уравнение с разделенными переменными.

решение дифференциального уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения І порядка. Определение. Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением І порядка.

Решение линейного уравнения (метод вариации произвольного постоянного).

1) Решаем уравнение, у которого левая часть совпадает с левой частью данного, а правая часть равна нулю, то есть уравнение ( уравнение без правой части).

Его решением является функция .

( )

Будем искать решение исходного уравнения в виде , где неизвестная функция.

Подставим функцию вместе с ее производной в уравнение и определим :

и где произвольная постоянная.

Окончательно, .

Так как интеграл с переменным верхним пределом есть первообразная, то возможна следующая запись решения: .

Уравнение Бернулли. Определение. Уравнение вида называется дифференциальным уравнением Бернулли.

Лекция 10. Дифференциальные уравнения І порядка. Дифференциальные уравнения ІІ порядка, допускающие понижение порядка.

Определение. Уравнение вида называется однородным дифференциальным уравнением І порядка.

Решение однородного дифференциального уравнения І порядка.

1) Подстановка

Тогда

2) Подставим функцию и ее производную в дифференциальное уравнение .

и получим уравнение с разделяющимися переменными.

Его решение: .

После вычисления интегралов производится обратная замена .

Дифференциальные уравнения І порядка, приводящиеся к однородным.

Определение. Уравнение вида где называется дифференциальным уравнением І порядка, приводящимся к однородному.

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Определение. Уравнение вида , где называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах.

Левая часть такого уравнения является полным дифференциалом некоторой функции поэтому уравнение можно записать в виде: , и решение его имеет вид (***) .

Функция дифференциалом которой является выражение определяется по формуле . (см.2.1.2.(2семестр))

Поэтому решение (см.(***)) дифф. уравнения в полных дифференциалах определяется формулой ,или

Дифференциальные уравнения второго порядка. Определение. Дифференциальным уравнением ІІ порядка называется дифференциальное уравнение, содержащее производную второго порядка неизвестной функции.

Дифференциальное уравнение ІІ порядка помимо производной второго порядка неизвестной функции может содержать также независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной, ее производную первого порядка.

уравнение, решенное относительно .

уравнение, не решенное относительно .

Определение. Решением дифференциального уравнения ІІ порядка называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вместе с первой и второй производными превращает его в тождество.

Определение. Дифференциальное уравнение І порядка имеет бесчисленное множество решений, которые определяются формулой (в явном виде) или (в неявном виде), содержащей две произвольные постоянные и . Это множество решений называется общим решением дифференциального уравнения второго порядка.

Геометрический смысл решения дифференциального уравнения ІІ порядка. Решение дифференциального уравнение І порядка зависит от двух постоянных и определяет так называемое двухпараметрическое семейство кривых. Через каждую точку проходит бесчисленное множество кривых семейства. Для определения линии этого семейства надо кроме точки задать также угловой коэффициент касательной к линии в этой точке (геометрический смысл начальных условий).

Геометрический смысл краевых условий заключается в том, что задаются две точки, которые определяют проходящую через них кривую семейства.

Теорема Коши для уравнения І порядка (теорема существования и единственности частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего данным начальным условиям.)(Без доказательства)

Пусть дано уравнение и начальные условия: Если функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой открытой области , содержащей точку , то в достаточно малом интервале дифференциальное уравнение имеет единственное частное решение такое, что

Частные случаи дифференциальных уравнений ІІ порядка (уравнения, допускающие понижение порядка).

Уравнения вида: .

Решение: .

Уравнения вида: (уравнение не содержит ).

Решение заключается в замене Тогда .

После замены уравнение преобразуется в уравнение первого порядка относительно : . Решив это уравнение и проведя обратную замену получим уравнение первого порядка.

Если решение этого уравнения имеет вид , то искомое решение получим интегрированием равенства .

Уравнения вида: (уравнение не содержит ).

Решение заключается в замене где считается функцией от . Тогда .

После замены уравнение преобразуется в уравнение первого порядка относительно : . Решив это уравнение и проведя обратную замену получим уравнение первого порядка.

Лекция 11. Линейные дифференциальные уравнения ІI порядка.

Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением ІІ порядка называется уравнение вида ( правая часть уравнения равна 0).

Теоремы о решениях линейного однородного дифференциального уравнения ІІ порядка.

Теорема . Если и решения Л.О.Д.У. , то функция при любых постоянных и также является решением этого уравнения.

Замечание. Выражение называется линейной комбинацией функций и

Теорема. Если и линейно независимые решения Л.О.Д.У. , то функция , где и произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения (без доказательства).

Теорема. Если является решением Л.О.Д.У. (11. 1.1. ) с действительными коэффициентами, то функции и являются его решениями.

Общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений ІІ порядка (Л.О.Д.У.) с постоянными коэффициентами.

Определение. Уравнение , где и постоянные величины, называется линейным однородным дифференциальным уравнением ІІ порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение Л.О.Д.У. с постоянными коэффициентами.

Выясним, при каких функция будет решением уравнения .

Имеем Подставляем в уравнение . Получаем . Так как , то .

Очевидно, что функция будет решением уравнения только в случае, когда является решением квадратного уравнения .

Уравнение называется характеристическим для дифференциального уравнения

Определение. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением ІІ порядка (Л.Д.У.) называется уравнение вида . Линейное дифференциальное уравнение ІІ порядка содержит неизвестную функцию и ее производные только в первой степени). правая часть уравнения.

Свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения ІІ порядка (Л.Н.Д.У.).

Теорема. Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения равна сумме двух функций , а решения соответственно уравнений и , тогда функция будет решением данного уравнения.

Теорема (Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения)

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно представить в виде суммы его частного решения и общего решения соответствующего ему линейного однородного дифференциального уравнения

Метод вариации произвольного постоянного это метод, позволяющий отыскивать частное решение Л.Н.Д.У. (уравнения с правой частью)

Пусть соответствующее ему однородное уравнение имеет общее решение .

Будем искать частное решение уравнения в виде

,

где и неизвестные функции, а и частные решения соответствующего однородного уравнения.

Продифференцируем :

. Введем дополнительное условие: ,

тогда

и .

Подставим функцию и ее производные и с учетом дополнительного условия в уравнение .

.

Выражения в скобках равны 0, так как и решения уравнения, и получается, что должно выполняться условие .

Условия и дают систему уравнений относительно и :

.

Определитель этой системы не равен 0 (без доказательства).

Из системы определяются сначала и , а затем интегрированием и сами функции и , подставив которые в получим искомое частное решение :

.

Записываем общее решение уравнения с правой частью (см. 11.4.2.2. Теорема) : .(Здесь произвольные постоянные).

Лекция 12 .Л.Н.Д.У.Ι ).Линейные дифференциальные уравнения порядка.

Определение. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением ІІ порядка (Л.Н.Д.У.) с постоянными коэффициентами и специальной правой частью называется уравнение вида , у которого

правая часть уравнения имеет вид ), где и действительные числа, а и многочлены соответственно степеней и постоянные величины.

Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка с постоянными коэффициентами (уравнения без правой части).

Определение. Уравнение , где постоянные величины, называется линейным однородным дифференциальным уравнением порядка порядка с постоянными коэффициентами.

Определение. Уравнение называется характеристическим для дифференциального уравнения

Теорема (обобщение 11.3.2.на Л.О.Д.У. порядка ).