Лекция1.Функции нескольких переменных

Области и окрестности.

Определение. Открытой областью (просто областью) называется множество точек плоскости, удовлетворяющее условиям:

Определение. Замкнутой областью называется объединение открытой области и ее границы.

Определение. Область называется ограниченной, если все ее точки принадлежат некоторому кругу с центром в начале координат.

Определение. Область называется односвязной, если все точки, лежащие внутри любой простой замкнутой кривой, полностью расположенной внутри области, также принадлежат области.

Определение. окрестностью точки называется множество точек плоскости , удовлетворяющих неравенству: . окрестность точки

Определение. Пусть имеются два множества: и Переменная называется функцией двух переменных и , если каждой паре чисел из множества ставится в соответствие одно значение переменной .

Графическое изображение (график) функции двух переменных.

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат. Область определения функции двух переменных изображается некоторым множеством точек плоскости . Каждой точке этого множества можно поставить в соответствие точку пространства, где . Совокупность таких точек принимают за графическое изображение (график) функции . Обычно графиком функции, заданной на некоторой части плоскости , служит некоторая поверхность.

Определение. Графиком функции называется множество точек пространства: .

Определение. Линией уровня функции называется линия в плоскости , определяемая уравнением

Определение предела функции в точке. Число называется пределом функции при ,

1.3.2.Определение. Число называется пределом функции при ,

если для если для любого существуют и зависящие от , такие, что для всех точек координаты которых удовлетворяют неравенствам: и выполняется неравенство .

Определения пределов (4случая).

Определение 1 непрерывности в точке. Функция называется непрерывной в точке если она определена в некоторой окрестности этой точки и .

Если и приращения аргументов, а

Определение 2 непрерывности в точке. Функция называется непрерывной в точке если она определена в некоторой окрестности этой точки и (бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции ).

Определение. Функция называется непрерывной в области , если она непрерывна в каждой точке этой области.

Определение. Если функция непрерывна в окрестности точки , а в самой точке не выполняется условие непрерывности, то точка называется точкой разрыва.

1.4. Частные производные.

_Пусть функция двух переменных и . Будем считать аргумент постоянным и рассмотрим полученную функцию одной переменной . Допустим, что полученная функция переменной дифференцируема. Ее приращение по этой переменной имеет вид: . Оно называется частным приращением по _.

Определение. Частной производной по переменной от функции называется предел отношения частного приращения функции по переменной к приращению переменной :

.

Другие обозначения:

Частная производная по переменной от функции -это ее производная, вычисленная в предположении, что аргумент постоянен.

Определение. Частной производной по переменной от функции называется предел отношения частного приращения функции по к приращению переменной :

.

Другие обозначения:

Частная производная по переменной от функции -это ее производная, вычисленная в предположении, что аргумент постоянен.

Определение. Изменение функции при совместных изменениях аргументов независимых называют полным приращением функции двух переменных.

Определение. Функция называется дифференцируемой в данной точке , если ее полное приращение можно представить в виде

, где бесконечно малая более высокого порядка, чем , а и не зависят от и .

_{Определение. Главная (линейная относительно приращений аргументов} и ) часть приращения функции называется полным дифференциалом функции двух переменных:

Теорема. Полный дифференциал функции двух переменных равен сумме произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых переменных. Определение. Пусть функция имеет частные производные и , которые в свою очередь являются функциями независимых переменных и

Частные производные от частных производных (если они существуют) называются частными производными второго порядка (вторыми частными производными) от данной функции.

Теорема. Если вторые смешанные производные функции непрерывны, то они равны между собой. (Без доказательства)

Лекция2. Функции нескольких переменных

Теорема. Если выражение является полным дифференциалом некоторой функции ( ), то

.

Теорема. Если для двух функций и во всех точках односвязной области выполняется условие , то в этой области существует функция , полный дифференциал которой равен .

Определение. Функция , полный дифференциал которой равен называется первообразной от полного дифференциала.

Формула, позволяющая вычислить приближенное значение функции в точке , если известно ее значение в точке имеет вид:

Определение. Пусть имеются два множества: и Переменная называется функцией трех переменных и , если каждой тройке чисел из множества ставится в соответствие одно значение переменной .

Обозначение: .

Определение. Пусть дана точка Множество точек трехмерного пространства, удовлетворяющих неравенству (внутренняя часть шара радиуса с центром в точке ),

_{называется} окрестностью точки

Определение. Частные производные функции трех переменных определяются так:

Определение. Полное приращение функции трех переменных определяется так: .

Определение. Полный дифференциал функции трех переменных определяется так:

Определение. Функция трех переменных называется дифференцируемой в данной точке , если ее полное приращение можно представить в виде

.

Определение. Пусть имеются два множества: и Переменная называется функцией переменных , если каждому набору переменных величин из множества соответствует единственное значение переменной

Обозначение: .

Набор чисел называют точкой мерного пространства. Множество называется областью определения функции.

Определение. окрестностью точки называется множество точек мерного пространства, удовлетворяющих неравенству: .

Такая окрестность называется открытым мерным шаром, а ее граница, определяемая уравнением называется мерной сферой.

Определение. Полным приращением функции переменных называется .

Определение. Частным приращением функции по переменной называется

Определение. Частной производной функции по переменной называется

Определение. Полным приращением функции называется

2.3.7. Теорема. Полный дифференциал функции переменных равен сумме произведений частных производных на приращения (дифференциалы) соответствующих независимых переменных. (Без доказательства)

или

Двойным интегралом по области называется предел последовательности интегральных сумм, при условии, что , если этот предел не зависит от способа разбиения и выбора точек : .

Определение. Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное

а) замкнутой областью в плоскости ; б) поверхностью где функция непрерывна и неотрицательна в области ; в) цилиндрической поверхностью, у которой образующая параллельна оси , а направляющая является границей области

Свойства двойного интеграла

Линейное свойство.

Если область интегрирования разбита на две области и без общих внутренних точек , то

Если во всех точках области интегрирования функции и удовлетворяют условию , то

Оценка двойного интеграла. Пусть наименьшее значение функции, наибольшее значение непрерывной функции в области , и пусть площадь области, тогда: .

Теорема о среднем (в двойном интеграле). (Без доказательства) Если функция непрерывна в области , то существует точка , что , где площадь области .

Определение. Область называется правильной в направлении оси , если она ограничена прямыми и и кривыми , (обе функции непрерывны на отрезке , и на нем). (Любая прямая, параллельная оси пересекает невертикальную границу области не более, чем в двух точках.)

Определение. Область называется правильной в направлении оси , если она ограничена прямыми и и кривыми , (обе функции непрерывны на отрезке , и на нем.

Двойной интеграл в полярных координатах.

Рассмотрим в плоскости полярную систему координат (см. 11.5. 2семестр). Координатными линиями будут линии и . Первые представляют собой окружности с центром в полюсе, а вторые- полупрямые с началом в полюсе.

Частичная область в полярных координатах представляет криволинейный четырехугольник, ограниченный полупрямыми и , а также дугами и .

Тогда .

Так как второе слагаемое бесконечно малая более высокого порядка, чем первое, то

формула для элемента площади: .

Поэтому ;

.

Интеграл Эйлера-Пуассона ( ).

Ι.Пусть квадрат со стороной , и четверти кругов соответственно радиусов и . Функция положительна, поэтому двойной интеграл от нее положителен. Этот интеграл увеличивается при расширении области интегрирования.

Поэтому имеет место неравенство:

Вычислим каждый из интегралов, входящих в неравенство (интегралы по областям и с помощью перехода к полярным координатам):

1)

2)

Запишем неравенство, связывающее полученные интегралы:

.

Перейдем в этом неравенстве к пределу при :

Из последнего равенства следует, что несобственный интеграл сходится, и имеет место формула: (Интеграл Эйлера-Пуассона) .

Лекция 4. Замена переменных в двойном интеграле. Тройной интеграл.

Определение. Пусть функция трех переменных задана в замкнутой ограниченной области трехмерного пространства. Разобьем эту область сетью поверхностей на конечное число ( ) частичных (непересекающихся) областей пространства с объемами где . В каждой частичной области разбиения возьмем произвольную точку и составим интегральную сумму:

_{Обозначим через} наибольший диаметр частичных областей. Тройным интегралом от функции по области называется предел последовательности интегральных сумм, при условии, что , если этот предел не зависит от способа разбиения и выбора точек :

.

Оценка тройного интеграла. Пусть наименьшее значение функции, наибольшее значение непрерывной функции в области , и пусть объем этой области, тогда: .

Теорема о среднем (для тройного интеграла). Если функция непрерывна в области , то существует точка , что . Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

Пусть область ограничена сверху и снизу поверхностями: и которые проектируются на плоскость в некоторую ограниченную область . Кроме того, область ограничена цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси . Тогда

Если область является криволинейной трапецией правильной в направлении оси (см.3.1.3)

то

Правило замены в тройном интеграле.

Формула перехода (без доказательства): , где и

(«якобиан»).

Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

Положение точки пространства однозначно определяется заданием трех чисел: а) полярные координаты (см. 11.5. 2семестр) точки , которая является проекцией точки на плоскость . б) аппликата точки .

Числа называются цилиндрическими координатами точки . Они связаны с декартовыми координатами точки соотношениями: .

Якобиан: .

Тройной интеграл в сферических координатах.

Положение точки пространства однозначно определяется заданием трех чисел: а) длина радиуса-вектора точки , угол, который образует проекция этого радиуса-вектора на плоскость с осью , угол между радиусом-вектором и осью .

Числа называются сферическими координатами точки Они связаны с декартовыми координатами точки соотношениями:

Якобиан равен .

Формула перехода (см. 4.3.1.):

Лекция 5. Криволинейный интеграл первого рода. Криволинейный интеграл второго рода.

Криволинейным интегралом первого рода (по длине) (по линии ) называется предел последовательности интегральных сумм при условии, что наибольшая длина участка разбиения стремится к нулю.

Свойства криволинейных интегралов первого рода.

где и концы линии .

Вычисление криволинейного интеграла первого рода.

Пусть линия задана параметрическими уравнениями: и , тогда.

Криволинейным интегралом второго рода (по координатам) (по линии ) называется предел интегральной суммы при условии, что наибольшая длина участка разбиения стремится к нулю.

Свойства криволинейных интегралов второго рода.

.

5.2.3. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.Пусть линия задана параметрическими уравнениями и , тогда , где и значения параметра, соответствующие началу и концу линии

Формула Грина.Если функции и непрерывны вместе со своими частными производными в замкнутой ограниченной области , то имеет место

формула Грина , где граница области и интегрирование по производится против часовой стрелки (в положительном направлении).

Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Лемма. Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования (зависел только от начальной и конечной точки), необходимо и достаточно, чтобы этот интеграл, взятый по любому замкнутому контуру был равен .

Теорема.Если функции и непрерывны вместе со своими частными производными в односвязной области , то для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от линии интегрирования, лежащей в области , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области выполнялось равенство .

Четыре равносильных утверждения для функций

1. Криволинейный интеграл по любому к пути равен 2. Криволинейный интеграл не зависит от линии интегрирования.