4.Проверка качества плр: значимость параметров, адекватность моделей. Прогнозирование.
Кроме задачи оценивания параметров представляет интерес задача о значимости параметров, т.е. задача проверки отделимости параметров регрессии от нуля, которая решается проверкой статистических гипотез при выполнении классических предположений П1-П5:
(
):
=0;
где t(
)
=
;
(
):
=0;
где t(
)
=
.
Решающее правило для проверки гипотез:
Если |t( )|> , где - квантиль распределения Стьюдента с надёжностью γ, то отклоняют гипотезу и делают вывод о существенной значимости параметра . Аналогично для .
Вторая задача проверки качества модели основана на адекватности (обоснованность выбора принятой в соответствии с моделью регрессии взаимосвязи у и х). Мера адекватности – коэф. детерминации:
=
=
,
гдеTSS
– вся D,
ESS – необъясненная часть D, RSS
- объяснен. TSS=
ESS+RSS
Часто
используется скорректированныйкоэф.детерм.
(с учётом степеней свободы):
=
.
Решающее
правило: Если
(T-2)/((1-
)/2)
>
(γ),
то отвергается гипотезе о неадекватности
ПЛР (
(γ)
– квантиль порядка γ закона распределения
Фишера).
Если
= 1, то ПЛР полностью отражает зависимость
у от х. Все наблюдаемые точки
лежат на графике
=
+
.Если
= 0, то модель неадекватна и информация
о х не влияет на изменения у.
Нельзя придавать большое значение коэф-ту детерминации, надо дополнять проверку адекватности другими показателями; для ПЛР совпадает спарным коэф-том корреляции.
По модели ПЛР можно построить прогноз зависимой переменной уна горизонт будущего:
=
+
,
где K
– глубина прогноза в будущем,
- планируемое в будущем моменте времени
T+K значение факторной переменной. Чем
дальше глубина прогноза, тем менее
чётким он будет.Доверительный интервал
прогноза:
-
S
<
<
+
S
.
5.Множественная линейная регрессия (млр). Классич. Предположения. Мнк-оценка параметров модели.
y
= f(
)+ε,
где описывается зависимость одной
эндогенной переменной от m (m>1) экзогенных
переменных.
y
=
+
+ ε.
Используют
векторно-матричное представление
= X
.
X
= 1
,
=(
)’,
=(
)’,
=(
)’,
::::::::: :::::::
1
По степени владения априорной информацией различ. 2 задачи:
1)при неизвестной функции взаимосвязи – задача подбора структуры модели.
2)при заданной функции – задача оценивания неизвестных параметров. Основной метод оценивания параметров - метод наименьших квадратов (минимизирует сумму квадратов отклонений реальных наблюдений за эндогенной переменной от её значения, рассчитанного по модели), кот.обеспечивает оптимальные свойства оценкам только при выполнении классических предположений:
П1.
отсутствие систематич.ошибок наблюдений
уравнения регрессии: M{
}
=
,
t=1,…,T.
П2.
случайные ошибки некоррелированы между
собой: M{εε'}=0.Коэфф
корреляции:
.
П3. наблюдения производятся с одинаковой точностью, т.е. дисперсии случ. переменных одинаковы во все моменты измерения: D{ } = , t=1,…,T.
П4.
Экз.переменные измеряются без ошибок.
В случае модели МЛР их значения образуют
линейно-независимые векторы. det(X’X)
0
=>rank(X)
= min(T,
m+1).
Отсутствие мультикол
П5.
Ошибки
имеют
нормальное совместное распределение
N(0,
).
МНК-оценки
находятся как решение задачи Q(
)
= (
)’
* (
)
→min
– квадратическая форма (где
= Х
,
- вектор оценок множества неизвестных
параметров
)
и имеют вид
(МНК)
=
- матричная форма.