2. Логика предикатов – 10 часов.

2.1. Предикаты – 2 часа.

Предикаты и предметы. Множество истинности предиката. Классификация предикатов: тожественно истинные, тождественно ложные, выполнимые и опровержимые. Равносильность предикатов. Следствие предиката. Теоремы о равносильности, следствии предикатов.

2.2. Логические и кванторные операции над предикатами - 2 часа.

Логические операции над предикатами: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность и теоремы о множествах истинности полученных предикатов. Кванторные операции: квантор всеобщности и квантор существования. Эквивалентность экзистенциального высказывания дизъюнкции, универсального – конъюнкции высказываний. Свободные и связанные вхождения переменных.

2.3. Формулы логики предикатов и их классификация - 2 часа.

Предметные и предикатные переменные. Индуктивное определение формулы логики предикатов. Атомарные и составные формулы, подформулы. Интерпретация предикатных формул. Классификация формул: выполнимые, опровержимые, тождественно истинные и тождественно ложные. Основные тавтологии логики предикатов.

2.4. Равносильность и логическое следование формул логики предикатов – 2 часа.

Равносильные формулы. Приведенная и предваренная формы для формул логики предикатов. Теоремы о их существовании для каждой формулы логики предикатов. Логическое следствие формулы.

2.5. Формализованное исчисление предикатов 1-го порядка – 2 часа.

Формализованное исчисление высказываний: алфавит, формулы, система аксиом, правила вывода. Формулы, выводимые из гипотез, теоремы. Теорема о дедукции. Теоремы о непротиворечивости, полноте и неразрешимости исчисления предикатов.

3. Варианты логики – 4 часа.

3.1. Классическая логика и клаузальная логика – 1 час.

Классическая логика. Клаузальная форма записи. Преобразование предложений из стандартной формы в клаузальную.

3.2. Логическое программирование. Клаузы Хорна и метод резолюций – 1,5 часа.

Логическое программирование. Клауза Хорна. Правило резолюций. Сущность метода резолюций.

3.3. Модальная логика – 0,5 часа.

Модальности, модальные операторы. Основные законы модальной логики. Варианты модальной логики.

3.4. Нечеткая логика – 0,5 часа.

Четкие и нечеткие множества. Операции над нечеткими множествами. Нечеткая логика.

3.5. Темпоральная логика - 0,5 часа

Моменты времени, точечные события, аксиомы, правила вывода. Описание ситуаций.

4. Алгоритмы и вычислимость – 8 часов.

4.1. Задачи и алгоритмы – 2 часа.

Массовая проблема и индивидуальная задача. Неформальное определение алгоритма. Свойства алгоритма. Различные подходы к формализации понятия алгоритма.

4.2. Машина Тьюринга – 2 часа.

Неформальное описание машины Тьюринга. Внешний алфавит, алфавит состояний, функциональная схема, принцип работы. Вычислимые по Тьюрингу функции, основная гипотеза теории алгоритмов.

4.3. Рекурсивные функции – 2 часа.

Описание класса рекурсивных функций: базисные функции (нуль-функция, функция следования и функция-проектор), операторы суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации. Примитивно-рекурсивные и частично-рекурсивные функции. Тезис Черча.

4.4. Нормальные алгоритмы Маркова – 1 час.

Алфавит, слова, простые и заключительные формулы. Подстановки и нормальные алгоритмы Маркова. Нормально вычислимые функции, принцип нормализации Маркова. Совпадение классов частично рекурсивных, нормально вычислимых и вычислимых по Тьюрингу функций.

4.5. Алгоритмически неразрешимые проблемы – 1 час.

Алгоритмически неразрешимые проблемы. Нумерация алгоритмов, машин Тьюринга. Проблемы распознавания самоприменимости и применимости. Проблема остановки. 10-я проблема Гильберта. Проблема определения общерекурсивности алгоритма. Проблема эквивалентности алгоритмов.

4.4. Содержание лабораторных занятий

Логика высказываний. – 10 часов.

1. Определение значения истинности высказываний. Построение составных высказываний. – 2 часа.

2. Упрощение систем высказываний. Правильные и неправильные рассуждения. Логические задачи. – 4 часа.

3. Доказательство теорем. Применение теоремы о дедукции. – 4 часа.

Логика предикатов. – 10 часов.

4. Записи на языке логики предикатов. Множества истинности предикатов. – 4 часа.

5. Равносильные преобразования формул логики предикатов. Логическое следование формул логики предикатов. – 4часа.

6. Правильные и неправильные рассуждения в логике предикатов. – 2 часа.

Варианты логики. – 4 часа.

7. Метод резолюций в логике предикатов. – 4 часа.

Алгоритмы и вычислимость. – 8 часов.

8. Построение выводов из аксиом и гипотез. Теорема о дедукции. – 2 часа.

Применение машин Тьюринга к словам. Конструирование машин Тьюринга. – 2 часа.

Рекурсивные функции. – 2 часа.

Применение нормальных алгоритмов к словам. Нормально вычислимые функции. – 2 часа.