Пара сил. Момент пары сил.

Пара сил – две равные по модулю антипараллельные силы (параллельные, но противоположно направлены), лежащие на одной прямой.

_{, - пара сил, равных по модулю, разнонаправленных.}

Если сила F₂ стремится к F₁, то их равнодействующая стремится к нулю, а точка С удаляется на бесконечность. Пара сил не имеет равнодействующей, т.е. пару сил нельзя заменить силой, она является самостоятельной механической категорией.

Плечом пары сил называется кратчайшее расстояние между линиями действия сил, образующих пару.

Сумма проекций сил, образующих пару на любую ось всегда равна нулю.

_{Плоскость, в которой расположена пар сил, называется плоскостью действия пары сил.}

Определение 1.

Моментом пары сил называется вектор по модулю произведению модуля одной из силы, образующей пару, на плечо пары сил, и направленный перпендикулярно плоскости действия пары сил в ту сторону, откуда видно, что пара сил вращает плоскость действия против часовой стрелки.

Определение 2.

Моментом пары сил называется вектор, равный векторному произведению радиус – вектора, проведенного из точки приложения одной силы в точку приложения другой силы, на вектор второй силы.

Оба определения идентичны.

_{Момент пары сил по модулю равен удвоенной площади треугольника, основанием которого является одна из сил пары, а вершина расположена в точке приложения второй силы.}

Момент пары сил в плоском случае.

В плоском случае момент пары сил является скалярной величиной, равной произведению модуля одной из сил на плечо пары и имеет знак «+», если пара сил стремится повернуть плоскость против часовой стрелки, в противном случае «-».

Теорема об эквивалентности пар.

Пару сил можно переносить в плоскости ее действия, изменяя ее плечо, но сохраняя момент пары сил.

(F,F’) – пара.

Переносим силу F по линии действия в точку D, а силу F' в точку С.

Раскладываем силу F' по правилу параллелограмма на 2 составляющих AC и СD. Силу F разложим на 2 составляющих по направлению CD и BD.

где , т.к. F₂ и F’₂ образуют уравновешенную систему сил, то их можно отбросить. (F₁,F’₁) – новая пара сил.

Площади ΔDCN и ΔDCL имеют одинаковую площадь, т.к. DC - общая и одинаковые высоты h, следовательно, моменты исходной пары и преобразованной одинаковы.

Сложение пар сил, произвольно расположенных в пространстве (расположенных в пересекающихся плоскостях)

– пара в плоскости Р.

– пара в плоскости Q.

Перенесем пары сил в плоскостях их действия так, чтобы они имели общее плечо АВ.

_,

Вывод: несколько пар, расположенных в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной парой, с моментом, равным геометрической сумме моментов исходных пар сил.

Момент результирующей пары можно определить как замыкающую сторону векторного многоугольника, построенного на векторах исходных пар.

Условие равновесия пар сил.

Теорема:

Для равновесия тела под действием системы пар сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех пар равнялась нулю.

Теорема о приведении произвольной системы к данному центру (метод Пуансо). Главный вектор и главный момент системы сил.

Лемма Пуансо.

_{, , ,}

Вывод: силу можно перенести в любую точку пространства добавив пару, момент которой равен моменту исходной силы относительно выбранной точки.

Теорема Пуансо.

Определение 1.

Главным вектором системы сил называется геометрическая сумма всех сил системы.

Определение 2.

Главным моментом системы сил относительно выбранного центра (точки) называется геометрическая сумма моментов всех сил относительно этого центра (точки).

_{- главный момент с.с. относит.ц. О}

Теорема:

Произвольную систему сил всегда можно заменить одной силой и одной парой сил при этом сила будет приложена в выбранном центре приведения и будет равняться главному вектору системы сил. А момент системы сил будет равен главному моменту системы сил относительно выбранного центра приведения.

,

_,

Вывод: таким образом, произвольная система сил приводится (заменяется) одной силой (главный вектор) и одной парой сил, момент которой равен главному моменту системы сил относительно выбранного центра приведения.

Частные случаи приведения плоской системы сил. Теорема Вариньона.

Вывод:

1)Если главный момент системы сил равен 0, а главный вектор не равен 0, то главный вектор называется равнодействующей и считается, что данная система сил приводится к равнодействующей.

2)Если главный вектор системы сил и главный момент относительно выбранного центра равны 0, то система сил является уравновешенной ( 0), а тело под действием такой системы сил находится в равновесии.

Изменение главного момента системы сил при перемене центра приведения.

_Ш

Главный вектор системы сил не зависит от выбора центра приведения, т.е. при перемене центра приведения он не меняется.

Главный момент системы сил относительно нового центра приведения равен сумме главного момента относительно старого центра приведения и момента главного вектора, приложенного в старом центре приведения относительно нового цента приведения.

Теорема Вариньона:

Если система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно любой точки равен сумме моментов исходных сил относительно этой же точки.

О - произвольная точка

_{Т.к. система сил приводится к равнодействующей, то}

Условия равновесия плоской системы сил.

Плоская система сил – если все силы лежат в одной плоскости.

Все теоремы и определения, установленные для произвольной системы сил, справедливы и для плоской системы сил, только их формулировки следует видоизменить с учетом того, что плоской системы сил

момент силы относительно точки и момент пары сил являются скалярными величинами:

_,

1. Первая (основная) форма равновесия.

2. Вторая форма равновесия.

3. Третья форма равновесия.

Различные виды систем условий равновесия.

1. Эта форма называется основной, т.к. при выборе координатных осей и точки (А) не ограничений:

Для равновесия тела под действием произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на оси Х и У, а так же сумма моментов всех сил относительно произвольной точки были равны нулю

2. Для равновесия тела под действием произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил относительно трех точек, не лежащих на одной прямой, равнялись нулю:

3. Для равновесия тела под действием произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех сил относительно двух произвольных точек и сумма проекций всех сил относительно оси, кот не перпендикулярна линии, проходящей через эти две точки, была равна нулю: