
- •2. Сравнение числовых рядов
- •12. Понятие ортогональной системы действительной функций. Ортогональность основной тригонометрической системы
- •13. Ортогональные системы действительных функций (определение, примеры). Разложение функции по ортогональным системам
- •14. Ряд Фурье. Представление периодической функции в виде ряда Фурье. Сходимость ряда Фурье (теорема Дирихле)
- •15. Разложение в ряд Фурье четных и не четных функций периодических функций. Разложение функций в ряд Фурье, заданной на полупериоде.
- •19. Интеграл Фурье в комплексной форме.
- •20. Теорема о существовании преобразования Фурье
- •21. Синус и косинус преобразования Фурье
- •26. Уравнение Бернулли. Его решение
- •27. Решение линейного диф-го уравнения 1го порядка методом Лагранжа
- •28. Уравнение в полных дифферен. И его решение
- •30. Линейные однородные ур-я 2-го порядка с постоянными коэ-ми. Их решение
- •31. Линейные неоднородные ур-я 2-го порядка с постоянными коэф-ми и правой частью спец. Вида
- •32. Линейные однород. Ур-ния n-го порядка
- •33. Решение линейных дифферен. Ур-ний n-го порядка с постоян коэф.
- •43. Непрерывность функции нескольких переменных
- •44. Частное приращение и частная производная функции нескольких переменных
- •45. Полное приращение функции нескольких переменных
- •47. Касательная плоскость
- •48. Частные производные высших порядков
- •51. Понятие двойного интеграла
- •52.Свойства двойного интеграла
- •53 Теоремы об оценке 2го интеграла
- •54 Техника вычисления 2го интеграла
- •55.Замена переменных в 2ом интеграле
45. Полное приращение функции нескольких переменных
Полное приращение функции двух переменных — приращение функции, которое соответствует приращению обоих аргументов:
Полное приращение не равно сумме частных приращений.
Полное
приращение функции
переменных
Полный дифференциал функции нескольких переменных
Полный дифференциал функции двух переменных — главная часть полного приращения функции, равная сумме произведения частной производной функции по первой переменной на приращение первого аргумента и произведения частной производной функции по второй переменной на приращение второго аргумента:
или
Полный дифференциал функции переменных:
46.Сложная
функция двух переменных — промежуточные
переменные которой так же являются
функциями двух переменных:
Сложная
функция
переменных — функция, аргументы которой
являются также функциями нескольких
переменных:
.
Теорема о частной производной сложной функции
Если
функция
и промежуточные переменные
дифференцируемы, то частные производные
сложной функции
вычисляются по формулам:
Для функции переменных теорема формулируется аналогично:
,
В
общем случае,
Полный дифференциал сложной функции
Рассмотрим
сложную функцию
.Учитывая,
что
и
, получаем:
.
Раскрывая скобки и группируя получим:
Где
выделенные части, соответственно
и
.
Следовательно,
Частные производные неявно заданной функции многих переменных
Если функция задана неявным образом уравнением , то частные производные функции вычисляются по формулам:
Для
функции
переменных аналогично:
47. Касательная плоскость
Касательная плоскость к поверхности в некоторой точке — плоскость, проходящая через данную точку и содержащая все касательные прямые к поверхности в этой точке.
Уравнение
касательной плоскости к поверхности в
точке
,
имеет вид:
Если поверхность задана явным образом функцией ,
то
Если поверхность задана неявным образом
то
(в учебнике в последней сумме тоже нет)
Нормаль к поверхности
Нормаль (нормальная прямая) к поверхности в некоторой точке — прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости.
Уравнение
нормали к поверхности в точке
имеет вид:
Если поверхность задана явным образом функцией , то
Если поверхность задана неявным образом то
Геометрический смысл полного дифференциала
Геометрически
смысл полного дифференциала функции
двух переменных. Рассмотрим функцию
которая в точке
имеет дифференциал
Уравнение касательной плоскости
к поверхности, заданной функцией в точке
(
.
Учитывая, что
видим, что правые части этих равенств
совпадают, следовательно:
.
Таким образом, полный дифференциал
функции равен приращению аппликаты
касательной плоскости при переходе от
точки
к точке
).
48. Частные производные высших порядков
Частная
производная -го порядка — частная
производная от частной производной
-го
порядка.
Частный случай:
Частных производных второго порядка от функции двух переменных может быть четыре:
Смешанная частная производная — частная производная второго или более высокого порядка, взятая по разным переменным.
Полные дифференциалы высших порядков
Полный дифференциал второго порядка — дифференциал от дифференциала функции.
Для функции полный дифференциал второго порядка:
Полный дифференциал порядка — дифференциал от дифференциала -го порядка.
49.
50.