Вопрос №1

Предмет алгебры логики. Микропроцессоры и микроконтроллеры. Основные функциональные блоки микропроцессора. Понятие архитектуры микропроцессора. Функционирование шин микропроцессорных устройств. Программируемые логические интегральные схемы

Предмет алгебры логики

Алгебра логики, раздел математической логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними. Алгебра логики возникла в середине 19 в. в трудах Дж. Буля . Основным предметом Алгебра логики стали высказывания. Под высказыванием понимается каждое предложение, относительно которого имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно. Чаще всего предполагается (т. н. бинарная или двоичная логика, в отличие от, например, троичной логики), что высказывания могут быть только истинными или ложными.

Базовыми элементами, которыми оперирует алгебра логики, являются высказывания. Высказывания строятся над множеством {B,  ,  ,  , 0, 1}, где B — непустое множество, над элементами которого определены три операции:

отрицание (унарная операция),

конъюнкция (бинарная),

дизъюнкция (бинарная),

а также константы — логический ноль 0 и логическая единица 1.

Микропроцессоры и микроконтроллеры.

Микроконтро́ллер — микросхема, предназначенная для управления электронными устройствами. Типичный микроконтроллер сочетает на одном кристалле функции процессора и периферийных устройств, содержит ОЗУ или ПЗУ. По сути, это однокристальный компьютер, способный выполнять простые задачи.

Характеристика микроконтроллера ATMega 128

• 128 кб Flash памяти программ

• 4 килобайта ОЗУ

• 4 килобайта EEPROM данных

• 3 таймера

• 2 последовательных порта SPI, UART

• 6 параллельных 8-ми разрядных двунаправленных портов, из которых один может служить аналогово-цифрового десятиразрядного преобразования 8 мультиплексируемых аналоговых сигналов.

• Тактовая частота 16 мГц

• Возможность широтно-импульсной модуляции выходного сигнала

• 8-ми разрядное АЛУ

• Аналоговый компаратор

• Возможность расширения памяти до 64 кБайт

• Блоки прерывания и управления, сторожевой таймер

• 32 регистра общего назначения

• Возможность подключения ЖК-дисплея

Микропроце́ссор — процессор (устройство, отвечающее за выполнение арифметических, логических операций и операций управления, записанных в машинном коде), реализованный в виде одной микросхемы^[1] или комплекта из нескольких специализированных микросхем^[2] (в отличие от реализации процессора в виде электрической схемы на элементной базе общего назначения или в виде программной модели). Первые микропроцессоры появились в 1970-х годах и применялись в электронных калькуляторах, в них использовалась двоично-десятичная арифметика 4-битных слов. Вскоре их стали встраивать и в другие устройства, например терминалы, принтеры и различную автоматику. Доступные 8-битные микропроцессоры с 16-битной адресацией позволили в середине 1970-х годах создать первые бытовые микрокомпьютеры.

Компоненты микропроцессора

- Арифметическо-логическое устройство

- Математический сопроцессорм

- Корпус микропроцессора

- Векторный процессор

- Регистр процессора

- КЭШ

Микропроцессор характеризуется большим количеством параметров и свойств, так как он является, с одной стороны, функционально сложным вычислительным устройством, а с другой - электронным прибором, изделием электронной промышленности. Как средство вычислительной техники он характеризуется прежде всего своей архитектурой, то есть совокупностью программно-аппаратных свойств, предоставляемых пользователю. Сюда относятся система команд, типы и форматы обрабатываемых данных, режимы адресации, количество и распределение регистров, принципы взаимодействия с оперативной памятью и внешними устройствами (характеристики системы прерываний, прямой доступ к памяти и т. д.).

Системная шина процессора предназначена для обмена информацией микропроцессора с любыми внутренними устройствами микропроцессорной системы (контроллера или компьютера). В качестве обязательных устройств, которые входят в состав любой микропроцессорной системы, можно назвать ОЗУ, ПЗУ, таймер и порты ввода-вывода.

В состав системной шины в зависимости от типа процессора входит одна или несколько шин адреса, одна или несколько шин данных и шина управления. Несколько шин данных и адреса применяется для увеличения производительности процессора и используется только в сигнальных процессорах. В универсальных процессорах и контроллерах обычно применяется одна шина адреса и одна шина данных.

Программи́руемая логи́ческая интегра́льная схе́ма — электронный компонент, используемый для создания цифровых интегральных схем. В отличие от обычных цифровых микросхем, логика работы ПЛИС не определяется при изготовлении, а задаётся посредством программирования (проектирования). Для программирования используются программаторы и отладочные среды, позволяющие задать желаемую структуру цифрового устройства в виде принципиальной электрической схемы или программы на специальных языках описания аппаратуры: Verilog, VHDL, AHDL и др. Альтернативой ПЛИС являются:программируемые логические контроллеры (ПЛК), базовые матричные кристаллы (БМК), требующие заводского производственного процесса для программирования; ASIC — специализированные заказные большие интегральные схемы(БИС).

Вопрос №2

Позиционные системы счисления. Переход из одной системы счисления в другую. Использование систем счисления в цифровой технике. Понятие бита, байта.

Позиционная система счисления — система счисления, в которой значение каждого числового знака(цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда).

Позиционная система счисления определяется целым числом b > 1, называемым основанием системы счисления. Система счисления с основанием b также называется b-ричной (в частности, двоичной, троичной, десятичной и т. п.).

Вывод общего метода перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Дано число F, представленное в двух системах счисления: с основанием P и с основанием Q. Тогда верно равенство:

F = a_nPⁿ + a_n-1P^n-1 + … + a₁P¹ + a₀P⁰ = b_mQ^m + b_m-1Q^m-1 + … + b₁Q¹ + b₀Q⁰    (2)

При этом все цифры a_i не превосходят P-1, а все цифры B_j не превосходят Q-1.

Предположим, что число F надо перевести из системы счисления P в систему счисления Q. Это означает, что все числа a_i нам известны и нужно найти все числа b_j. Разделим обе части равенства (2) на Q. С учетом того, что Q⁰=1 очевидно, что справа после деления будет остаток b₀, т.к. у всех остальных слагаемых есть общий множитель Q. Следовательно, разделив левую часть равенства (2) на Q, мы получим остаток, представляющий самую младшую цифру в системе счисления Q. После этого частное нужно снова поделить на Q – получим следующую цифру в системе счисления Q. И так далее. Самой последней получим самую старшую цифру.

В цифровых устройствах обработки информации используется двоичная система счисления с основанием 2, в которой используется два элемента обозначения: 0 и 1. Веса разрядов слева направо от младших разрядов к старшим увеличиваются в 2 раза, то есть имеют такую последовательность: 8421. В общем виде эта последовательность имеет вид:

…2⁵2⁴2³2²2¹2⁰,2^-12^-22^-3…

и используется для перевода двоичного числа в десятичное. Например, двоичное число 101011 эквивалентно десятичному числу 43:

 2⁵·1+2⁴·0+2³·1+2²·0+2¹·1+2⁰·1=43 

В цифровых устройствах используются специальные термины для обозначения различных по объёму единиц информации: бит, байт, килобайт, мегабайт и т.д.

Бит или двоичный разряд определяет значение одного какого-либо знака в двоичном числе. Например, двоичное число 101 имеет три бита или три разряда. Крайний справа разряд, с наименьшим весом, называется младшим, а крайний слева, с наибольшим весом, — старшим. 

Байт определяет 8-разрядную единицу информацию, 1 байт=23 бит, например, 10110011 или 01010111 и т.д., 1 кбайт = 2¹⁰ байт, 1 Мбайт = 2¹⁰ кбайт = 2²⁰ байт.

Для представления многоразрядных чисел в двоичной системе счисления требуется большое число двоичных разрядов. Запись облегчается, если использовать шестнадцатеричную систему счисления. 

Основанием шестнадцатеричной системы счисления является число 16=2⁴, в которой используется 16 элементов обозначения: числа от 0 до 9 и буквы A, B, C, D, E, F. Для перевода двоичного  числа в шестнадцатеричное достаточно двоичное число разделить на четырёхбитовые группы: целую часть справа налево, дробную — слева направо от запятой. Крайние группы могут быть неполными.

Каждая двоичная группа представляется соответствующим шестнадцатеричным символом (таблица 1). Например, двоичное число 0101110000111001 в шестнадцатеричной системе выражается числом 5C39.

Пользователю наиболее удобна десятичная система счисления. Поэтому многие цифровые устройства, работая с двоичными числами, осуществляют приём и выдачу пользователю десятичных чисел. При этом применяется двоично-десятичный код.

Двоично-десятичный код образуется заменой каждой десятичной цифры числа четырёхразрядным двоичным представлением этой цифры в двоичном коде (См. таблицу 1). Например, число 15 представляется как 00010101 BCD (Binary Coded Decimal). При этом в каждом байте располагаются две десятичные цифры. Заметим, что двоично-десятичный код при таком преобразовании не является двоичным числом, эквивалентным десятичному числу.

Вопрос № 3

Элементарная логика. Аксиомы, основные теоремы и тождества алгебры логики.

Различные логические переменные могут быть связаны функциональными зависимостями. Функциональные зависимости между логическими переменными могут быть описаны логическими формулами или таблицами истинности. 

В общем виде логическая формула функции двух переменных записывается в виде: y=f(X₁, X₂), где X₁, X₂ — входные переменные.

В таблице истинности отображаются  все возможные сочетания (комбинации) входных переменных и соответствующие им значения функции y, получающиеся в результате выполнения какой-либо логической операции.

Инверсия (отрицание) является одной из основных логических функций, используемых в устройствах цифровой обработки информации. 

X	Y1
0	1
1	0

Дизъюнкция. В отличие от обычного арифметического или алгебраического суммирования здесь наличие двух единиц даёт в результате единицу. Поэтому при обозначении логического суммирования предпочтение следует отдать знаку (∨) вместо знака (+) [1].

Первые две строчки таблицы истинности операции дизъюнкции (x₁=0) определяют закон сложения с нулём: x ∨ 0 = x, а вторые две строчки (x₁ = 1) — закон сложения с единицей: x ∨ 1 = 1.

Конъюнкция. Таблица 4 убедительно показывает тождественность операций обычного и логическог  умножений. Поэтому в качестве знака логического умножения возможно использование привычного знака обычного умножения в виде точки [1].

Первые две строчки таблицы истинности операции конъюнкции определяют закон умножения на ноль: x·0 = 0, а вторые две — закон умножения на единицу: x·1 = x.

Исключающее ИЛИ. Под функцией «Исключающее ИЛИ» понимают следующее: единица на выходе появляется тогда, когда только на одном входе присутствует единица. Если единиц на входах две или больше, или если на всех входах нули, то на выходе будет нуль.

Надпись на обозначении элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ «=1» (Рисунок 1, г) как раз и обозначает, что выделяется ситуация, когда на входах одна и только одна единица.

Эта операция аналогична операции арифметического суммирования, но, как и другие логические операции, без образования переноса. Поэтому она имеет другое название сумма по модулю 2 и обозначение ⊕, сходное с обозначением арифметического суммирования.

Дизъюнкция			Конъюнкция			Исключающее ИЛИ
X1	X2	Y	X1	X2	Y	X1	X2	Y
0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	1	0	1	0	0	1	1
1	0	1	1	0	0	1	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1	0

аксиомы:

		ассоциативность
		коммутативность
		законы поглощения
		дистрибутивность
		дополнительность

Законы:

1 Переместительный: X ∨ Y = Y ∨ X; X · Y = Y · X.

2 Cочетательный: X ∨ Y ∨ Z = (X ∨ Y) ∨ Z = X ∨(Y ∨ Z);  X · Y · Z = (X · Y) · Z = X· (Y· Z).

3 Идемпотентности: X ∨ X = X; X · X = X.

4 Распределительный: (X ∨ Y)· Z = X· Z ∨ Y· Z.

5 Двойное отрицание: .

6 Закон двойственности (Правило де Моргана):

Для преобразования структурных формул применяется ряд тождеств:

X ∨ X · Y = X; X(X ∨ Y) = X — Правила поглощения.

X· Y ∨ X·  = X, (X ∨ Y)·(X ∨ ) = X – Правила склеивания.

Вопрос №4

Элементная база цифровой электроники. Резистор, конденсатор, индуктивность, диод, транзистор, операционный усилитель.

Резистор — пассивный элемент электрической цепи, в идеале характеризуемый только сопротивлением электрическому току, то есть для идеального резистора в любой момент времени должен выполняться закон Ома для участка цепи: мгновенное значение напряжения на резисторе пропорционально току проходящему через него  . На практике же резисторы в той или иной степени обладают также паразитной ёмкостью, паразитной индуктивностью и нелинейностью вольт-амперной характеристики.

Конденсатор — двухполюсник с определённым значением ёмкости и малой омической проводимостью; устройство для накопления заряда и энергии электрического поля. Конденсатор является пассивным электронным компонентом. Обычно состоит из двух электродов в форме пластин (называемых обкладками), разделённых диэлектриком, толщина которого мала по сравнению с размерами обкладок.

Катушка индуктивности — винтовая, спиральная или винто-спиральная катушка из свёрнутого изолированного проводника, обладающая значительной индуктивностью при относительно малой ёмкости и малом активном сопротивлении. Как следствие, при протекании через катушку переменного электрического тока, наблюдается её значительная инерционность.

Диод — двухэлектродный электронный прибор, обладает различной проводимостью в зависимости от направления электрического тока. Электрод диода, подключённый к положительному полюсу источника тока, когда диод открыт (то есть имеет маленькое сопротивление), называют анодом, подключённый к отрицательному полюсу — катодом.

…пульсирующий ток или напряжение

Транзистор, полупроводниковый триод —

радиоэлектронный компонент из полупроводникового материала, обычно с тремя выводами, позволяющий входным сигналам управлять током в электрической цепи. Обычно используется для усиления, генерирования и преобразования электрических сигналов. На принципиальных схемах обозначается «VT» или «Q». В русскоязычной литературе и документации до 1970-х гг. применялись обозначения «Т», «ПП» (полупроводниковый прибор) или «ПТ» (полупроводниковый триод).

Операционный усилитель — усилитель постоянного тока с дифференциальным входом и, как правило, единственным выходом, имеющий высокий коэффициент усиления. ОУ почти всегда используются в схемах с глубокой отрицательной обратной связью, которая, благодаря высокому коэффициенту усиления ОУ, полностью определяет коэффициент передачи полученной схемы.

В настоящее время ОУ получили широкое применение как в виде отдельных чипов, так и в виде функциональных блоков в составе более сложных интегральных схем. Такая популярность обусловлена тем, что ОУ является универсальным блоком с характеристиками, близкими к идеальным, на основе которого можно построить множество различных электронных узлов.

Вопрос № 5

Основы получения дискретных сигналов. Элементарная схемотехника

Аналого-цифровой преобразователь— устройство, преобразующее входнойаналоговый сигнал в дискретный код (цифровой сигнал). Обратное преобразование осуществляется при помощи ЦАП (цифро-аналогового преобразователя, DAC).

Как правило, АЦП — электронное устройство, преобразующее напряжение в двоичный цифровой код. Тем не менее, некоторые неэлектронные устройства с цифровым выходом, следует также относить к АЦП, например, некоторые типы преобразователей угол-код. Простейшим одноразрядным двоичным АЦП является компаратор.

Вопрос № 6.

Соотношения в Булевой алгебре. Функциональные схемы элементарной логики. Функции, таблицы истинности.

Две формулы булевой алгебры равносильны (равны, эквивалентны), если равны сопоставляемые им функции (т.е. они принимают одинаковые значения на всех наборах значений аргументов). Ниже даны основные законы булевой алгебры, позволяющие проводить тождественные преобразования формул булевой алгебры (обратите внимание, насколько они похожи на законы классической арифметики): Законы и тождества алгебры логики 

Математический аппарат алгебры логики позволяет преобразовать логическое выражение, заменив его равносильным с целью упрощения, сокращения числа элементов или замены элементной базы.

Законы:

1 Переместительный: X ∨ Y = Y ∨ X; X · Y = Y · X.

2 Cочетательный: X ∨ Y ∨ Z = (X ∨ Y) ∨ Z = X ∨(Y ∨ Z);  X · Y · Z = (X · Y) · Z = X· (Y· Z).

3 Идемпотентности: X ∨ X = X; X · X = X.

4 Распределительный: (X ∨ Y)· Z = X· Z ∨ Y· Z.

5 Двойное отрицание: .

6 Закон двойственности (Правило де Моргана):

Для преобразования структурных формул применяется ряд тождеств:

X ∨ X · Y = X; X(X ∨ Y) = X — Правила поглощения.

X· Y ∨ X·  = X, (X ∨ Y)·(X ∨ ) = X – Правила склеивания.

Правила старшинства логических операций.

1 Отрицание — логическое действие первой ступени.

2 Конъюнкция — логическое действие второй ступени.

3 Дизъюнкция — логическое действие третьей ступени.

Если в логическом выражении встречаются действия различных ступеней, то сначала выполняются первой ступени, затем второй и только после этого третьей ступени. Всякое отклонение от этого порядка должно быть обозначено скобками. 

Вопрос №7

Минимизация функций. Законы де Моргана, К. Шеннона.

Вопрос № 7.

Минимизация функций. Законы де Моргана, К. Шеннона.

Основные понятия минимизации булевых функций

Операции алгебры логики обладают свойствами, аналогичными операциям сложения и умножения обычной алгебры.

На основании этих законов можно выносить переменные за скобки, пере­ставлять местами и т.д., как и в обычной алгебре.

Мы говорили о законе склеивания, поглощения, распределительный закон, сочетательный закон, переместительный закон,

Но только для алгебры логики действует закон двойственности (правило де Моргана):

; = .

Законы двойственности обобщены К. Шенноном для любых булевых функ­ций (ФАЛ):

.

Такая запись обозначает тот факт, что отрицание над записью всей функции приводит к отрицанию значения переменных и знаков, их соединяющих, т.е. дизъюнкция ( ) заменяется знаком конъюнкции ( ), и наоборот.

Пример:

(*)

Заметим, что в первоначальную запись функции (*) можно значительно уп­ростить. Действительно, вынесем за скобки , тогда получим:

Использование этих законов позволяет упрощать исходную запись ФАЛ.

Вернемся к анализу ФАЛ, представленной в таблице 3.

В первой исходной записи ФАЛ, полученной по таблице 3, в каждом логиче­ском произведении переменных (конъюнкция) присутствовали все переменные из набора x₁x₂x₃, а сами конъюнкции соединены символом логического сложения (дизъюнкции). Такая форма записи ФАЛ называется совершенной дизъюнктивной нормаль­ной формой (СДНФ).

Если не все переменные из набора x₁x₂x₃ представлены в каждой из конъ­юнкций, то такая форма по прежнему остается нормальной дизъюнктивной фор­мой, но она не относится к классу совершенных.

ДНФ представления одной и той же ФАЛ может быть много, но совершенная ДНФ (СДНФ) одна единственная.

Кроме СДНФ существует так называемая конъюнктивная нормальная форма, которая также может быть совершенной (СКНФ) и не совершенной, т.е. просто КНФ.

КНФ представляет собой алгебраическое выражение в виде стольких конъюнктивных членов, представляющих со­бой дизъюнкции всех переменных, при скольких наборах значений переменных функция равна 0. Если в наборе значение переменной равно 1, в дизъюнкцию входит инверсия этой переменной.

Анализ СДНФ и СКНФ показывает неэкономичность записи ФАЛ. Исполь­зуя свойства ФАЛ можно преобразовать выражения за счет так называемой операции склеивания, т.е.

, т.к. .

,

где a – любая ФАЛ.

Упрощение записи СДНФ за счет операции склеивания называется миними­зацией ФАЛ.

Вопрос № 8.

Минимизация функций. Карты Карно.

Вопрос №8.

Минимизация функций. Карты Карно.

Существует большое число алгоритмов минимизации ФАЛ, из которых наиболее наглядным и простым является метод карт Карно.

Карта Карно представляет собой булево пространство в виде таблицы, в которой отображаются конституенты СДНФ.

Конституента – это набор перемен­ных, соединенных знаком конъюнкции (И).

Если функция при этом наборе пе­ремен­ных равна 1, то в клетку матрицы записывается 1. Черточками над клетками булева пространства помечаются строки и столбцы (по горизонтали и по вертикали), в которых обозначенная переменная примет значение 1.

Например представлена ФАЛ, для которой СДНФ имеет вид:

.

Составим таблицу для этого множества:

Таблица 11

В таблице 11 значение х₁ = 1 распространяется на столбцы 2 и 3, считая справа налево, а значение х₂ = 1 – на столбцы 1 и 2. Аналогично черточка

х₃ =1 относится к нижней строке таблицы (матрицы).

В таблице 11 введены уровни симметрии по столбцам и строкам. Нулевой (0) уровень делит матрицу пополам, единичные уровни (1) делят каждую область строк или столбцов еще раз пополам. Как видно, по строкам только один нулевой (0) уровень симметрии, а по столбцам их 2.

Для минимизации все клетки, содержащие 1, объединяются в замкнутые об­ласти с числом клеток 2, 4, 8… (в зависимости от числа переменных в ФАЛ). Области могут пересекаться, и одни и те же клетки могут входить в разные об­ласти. «Соседними» являются не только клетки, расположенные рядом по горизонтали и вертикали, но и клетки, находящиеся на противоположных гра­ницах карты. При охвате клеток замкнутыми областями следует стремиться к ми­нимальному числу областей.

Действительно, для верхней области, охватывающей две 1 при , видно, что значение x₂ несущественно, т.к. ФАЛ равна 1 как при x₂, так и при , но обе 1 в булевом пространстве при лежат в области x₁. Аналогично для значения x₃ не существенно значение x₁, но обе 1 соответствуют x₂.

Для табл. 11 получим:

.

Одним из вариантов карты Карно является представление кодирования бу­лева пространства кодом Грея, в котором при переходе от клетки к клетке как по вертикали, так и по горизонтали меняется значение только одной переменной.

Такое представление хорошо воспринимается визуально благодаря симмет­рии по осям. В данном случае это оси «0–0» и «1–1». Эта симметрия позволяет легче находить области склеивания конституент, для которых значения какой-либо переменной x_i не влияет на значение ФАЛ. Речь идет о «ручной» минимизации с использованием визуального восприятия, что эффективно при n ≤ 6.

Для столь простого примера нельзя сделать четкий вывод в пользу того или иного способа кодирования булева пространства, но при числе переменных, рав­ном 4, 6 и более, преимущества кода Грея будут очевидны при визуальном методе минимизации ФАЛ.

Минимизация ФАЛ базируется на использовании свойств карт Карно. Наборы значений переменных для соседних клеток карты Карно отличаются лишь одной переменной.

Соседними между собой являются также крайние левые клетки карты с крайними правыми и крайние верхние клетки карты с крайними нижними (как если бы карты были свернуты в цилиндры по вертикали и горизонтали).

Таким образом, все клетки, отличающиеся значением только одной пере­мен­ной, являются соседними, несмотря на то, что иногда они расположены не ря­дом. Это свойство карты является очень важным для определения минимальных алгеб­раических выражений функций.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма СДНФ логической функ­ции, изображенной в виде карты Карно, определяется следующим образом:

- для каждой клетки, в которой функция имеет значение 1, записывается конъ­юнкция всех входных переменных (прямых или инверсных);

- составляется дизъюнкция этих конъюнкций, которая и представляет собой СДНФ данной функции.

Для логической функции, заданной на карте Карно, можно записать несколько алгебраических выражений различной сложно­сти в дизъюнктивной или конъюнк­тивной форме. При этом целесообразно пользоваться следующими рекомендациями:

1. Все единицы (при записи функции в дизъюнктивной форме) и все нули (при за­писи функции в конъюнктивной форме) должны быть заключены в прямо­угольные контуры. Единичные контуры могут объединять несколько единиц, но не должны содержать внутри себя нулей. Нулевые контуры могут объединять не­сколько нулей, но не должны содержать внутри себя единиц. Одноименные кон­туры могут накла­дываться друг на друга, т.е. одна и та же единица (или нуль) мо­жет входить в не­сколько единичных (нулевых) контуров.

2. Площадь любого контура должна быть симметричной относительно гра­ниц пе­ременных, пересекаемых данным контуром. Другими словами, число кле­ток в контуре должно быть равно 1, 2, 4, 8, 16, 32, ….

3. Во избежание получения лишних контуров, все клетки которых вошли уже в другие контуры, построение следует начинать с тех единиц или нулей, кото­рые мо­гут войти в один-единственный контур.

4. В контуры можно объединять только соседние клетки, содержащие еди­ницы или нули. Соблюдение этого правила особенно необходимо проверять при числе пе­ременных, большем четырех, когда соседние клетки могут быть располо­жены не ря­дом и поэтому контуры могут претерпевать видимый разрыв.

5. Каждой единичной клетке соответствует конъюнкция входных перемен­ных, оп­ределяющих данную клетку. Каждой нулевой клетке соответствует дизъ­юнкция инверсий входных переменных, определяющих данную клетку.

6. В контуре, объединяющем две клетки, одна из переменных меняет свое значение. Поэтому выражение для контура из двух клеток не зависит от этой пере­менной, а представляется всеми остальными переменными. Это правило относится и к контурам, охватывающим число клеток более двух, и имеет такую формулировку: выражения, соответствующие контурам, не содержат тех пере­менных, чьи гра­ницы пересекаются площадью, ограниченной данным контуром.

7. Выражение логической функции может быть записано по соответствующей ей карте Карно в дизъюнктивной или конъюнктивной формах. Дизъюнктив­ная форма составляется в виде дизъюнкции конъюнкций, соответствующих еди­ничным контурам, выделенным на карте для определения функции.

8. Для контуров, охватывающих различное количество клеток, получаются выражения различной сложности. Поэтому для данной логической функции можно записать по карте Карно несколько отличающихся по сложности алгебраиче­ских выражений. Наиболее сложное выражение соответствует случаю, когда каж­дой клетке соответствует свой контур. Это выражение представляет собой набор СДНФ и СКНФ данной функции. С увеличением размеров контуров алгебраическое выра­жение упрощается. Самое простое выражение функции получается при образовании наибольших контуров. На этом свойстве основывается метод минимизации логиче­ских функций с помощью карт Карно.

Рассмотрим пример ФАЛ для шести переменных (табл. 12).

Таблица 12

Все области «1», объединенные двойными линиями, представляют один интервал ФАЛ, для кото­рого по горизонтали очевидна независимость от x₁ и x₃, а по вертикали от x₄ и x₆, т.е. весь интервал соответствует . Верхняя область, объединенная сплошным овалом в одну линию по горизонтали, соответствует x₂x₃, а по вертикали , т.е. , а нижняя соответствует , тогда получим:

.

Последняя запись в скобках для х₃ и х₆ как уже говорилось называется функ­цией (обозначим Ζ) суммы по модулю 2 и обозначаются символом . Другое назва­ние функции Ζ – функция неравнозначности, т.к. она принимает значение 1 только при различных значениях переменных.

.

Заметим, что обратная ей функция имеет вид:

.

Эта функция называется функцией тождественности, т.к. она принимает зна­чение 1 только при одинаковых (тождественных «0» и «1») значениях перемен­ных

.

Тогда выражение для y можно записать в виде

.

Существуют функции, значение которых неопределенно на некоторых наборах входных переменных, т.е. некая комбинация, например , не может быть реализована. Практических примеров таких булевых функций много, особенно для реальных технологических процессов. Все такие комбинации переменных также наносятся на карту Карно и отмечаются символом, отличающимся от символа «0» или «1», с целью получения минимальной формы булевых функций Такие булевы функции называются не полностью определенными^*.

Вопрос №9.

Переходные процессы. Быстродействие работы логических схем. Комбинационная логика.

Под переходным (динамическим, нестационарным) процессом или режимом в электрических цепях понимается процесс перехода цепи из одного установившегося состояния (режима) в другое. При установившихся, или стационарных, режимах в цепях постоянного тока напряжения и токи неизменны во времени, а в цепях переменного тока они представляют собой периодические функции времени. Установившиеся режимы при заданных и неизменных параметрах цепи полностью определяются только источником энергии. Следовательно, источники постоянного напряжения (или тока) создают в цепи постоянный ток, а источники переменного напряжения (или тока) – переменный ток той же частоты, что и частота источника энергии.

Переходные процессы возникают при любых изменениях режима электрической цепи: при подключении и отключении цепи, при изменении нагрузки, при возникновении аварийных режимов (короткое замыкание, обрыв провода и т.д.). Изменения в электрической цепи можно представить в виде тех или иных переключений, называемых в общем случае коммутацией. Физически переходные процессы представляют собой процессы перехода от энергетического состояния, соответствующего до коммутационному режиму, к энергетическому состоянию, соответствующему после коммутационному режиму.

Переходные процессы обычно быстро протекающие: длительность их составляет десятые, сотые, а иногда и миллиардные доли секунды. Сравнительно редко длительность переходных процессов достигает секунд и десятков секунд. Тем не менее изучение переходных процессов весьма важно, так как позволяет установить, как деформируется по форме и амплитуде сигнал, выявить превышения напряжения на отдельных участках цепи, которые могут оказаться опасными для изоляции установки, увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки раз превышать амплитуду тока установившегося периодического процесса, а также определять продолжительность переходного процесса. С другой стороны, работа многих электротехнических устройств, особенно устройств промышленной электроники, основана на переходных процессах. Например, в электрических нагревательных печах качество выпускаемого материала зависит от характера протекания переходного процесса. Чрезмерно быстрое нагревание может стать причиной брака, а чрезмерно медленное отрицательно оказывается на качестве материала и приводит к снижению производительности.

В общем случае в электрической цепи переходные процессы могут возникать, если в цепи имеются индуктивные и емкостные элементы, обладающие способностью накапливать или отдавать энергию магнитного или электрического поля. В момент коммутации, когда начинается переходный процесс, происходит перераспределение энергии между индуктивными, емкостными элементами цепи и внешними источниками энергии, подключенными к цепи. При этом часть энергия безвозвратно преобразуется в другие виды энергий (например, в тепловую на активном сопротивлении).

После окончания переходного процесса устанавливается новый установившийся режим, который определяется только внешними источниками энергии. При отключении внешних источников энергии переходный процесс может возникать за счет энергии электромагнитного поля, накопленной до начала переходного режима в индуктивных и емкостных элементах цепи.

Задача исследования переходных процессов заключается в том, чтобы выяснить, по какому закону и как долго будет наблюдаться заметное отклонение токов в ветвях и напряжений на участках цепи от их установившихся значений. Так, например, если в исследуемой ветви некоторой цепи до коммутации существовал постоянный ток I1, а в установившемся режиме после коммутации он стал I2, то нас будет интересовать закон изменения переходного тока i между моментом коммутации (t=0) и тем неизвестным нам моментом времени t1, когда переходный процесс можно считать закончившимся.

При анализе переходных процессов в электрических цепях считается, что:

1. рубильники включаются и размыкаются мгновенно, без возникновения электрической дуги;

2. время переходного процесса, теоретически бесконечно длительное, (переходный режим асимптотически приближается к новому установившемуся режиму), ограничивают условным пределом – длительностью переходного процесса;

3. установившийся режим после коммутации рассчитывают при теоретическом условии t→∞, т.е. когда после коммутации прошло бесконечно большое время.

Изменение напряжения при подаче его в схему: 3