Вопрос 17

Каноническое уравнение гиперболы

Гиперболой называется ГМТ плоскости модуль разности расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная

Определение. Расстояние от произвольной точки М плоскости до фокуса гиперболы называется фокальным радиусом точки М.Обозначения: – фокусы гиперболы, – фокальные радиусы точки М.По определению гиперболы, точка М является точкой гиперболы тогда и только тогда, когда – постоянная величина. Эту постоянную принято обозначать 2а: Заметим, что . .По определению гиперболы, его фокусы есть фиксированные точки, поэтому расстояние между ними есть также величина постоянная для данной гиперболы.Определение. Расстояние между фокусами гиперболы называется фокусным расстоянием

Обозначение:

Из треугольника следует, что т.е.

Обозначим через b число равное т. е.

Определение. Отношение

называется эксцентриситетом гиперболы. Введем на данной плоскости систему координат, которую мы будем называть канонической для гиперболы.Определение. Ось, на которой лежат фокусы гиперболы, называется фокальной осью или действительной осью гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы.В канонической для гиперболы системе координат уравнение гиперболы имеет вид Канонические для гиперболы оси координат называются главными осями гиперболы.Определение. Начало канонической для гиперболы системы координат называется центром гиперболы.

Свойства: Свойство 10.6. Гипербола не имеет общих точек с осью Oy, а ось Ox пересекает в двух точках A (a; 0) и B (–a; 0), которые называются вершинами гиперболы. Доказательство.Отрезок AB называется действительной осью гиперболы, его длина равна 2a. Число a называется действительной полуосью гиперболы, число b – мнимой полуосью.

Свойство 10.7. Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Свойство 10.8. Гипербола имеет центр симметрии.Доказательство .Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы.

Свойство 10.9. Гипербола пересекается с прямой y = kx при в двух точках. Если

то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Директрисы гиперболы

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Асимптоты

В силу симметрии можно сказать, что точки гиперболы расположены внутри тех вертикальных углов, образованных прямыми внутри которых проходит действительная ось гиперболы. Прямые называются асимптотами гиперболы.

Вопрос 18.

Каноническео уравнение пораболы.

У2=2рх, где р – расстояние от фокуса до директрисы (параметр параболы)

Если вершина параболы С (α, β), то уравнение параболы (у-β)2=2р(х-α)

Если фокальную ось принять за ось ординат, то уравнение параболы примет вид: х2=2qу

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой. Точка, о которой идет речь в определении, называется фокусом параболы, а прямая - ее директрисой.

Простейшее уравнение параболы

y² = 2px.     (*)

Входящая в это уравнение величина p называется параметром параболы. Параметр параболы равен расстоянию от директрисы параболы до ее фокуса.

Координаты фокуса F параболы (*)  . (фокус параболы лежит на ее оси симметрии) Уравнение директрисы параболы (*)

Эксцентриситет параболы e = 1.

y² = 2px (p > 0)