Промежутки монотонности

Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров , а лишь для номеров из некоторого диапазона

(здесь допускается обращение правой границы в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке , а сам диапазон называется промежутком монотонности последовательности.

Mонотонные и ограниченные последовательности. Число е.

Последовательность называется

1. возрастающей, если ,

2. убывающей, если .

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными. Последовательность называется ограниченной сверху, если все члены последовательности . Последовательность называется ограниченной снизу, если все члены последовательности . Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. Пример: исследовать последовательность на монотонность и ограниченность. Решение:

1. ограничена снизу. (Если )

2. убывает, поэтому ограничена сверху.

Ответ: последовательность ограничена и монотонно убывает. Теорема Вейерштрасса: Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Число е. Последовательность

1. возрастает

2. ограничена: по теореме Вейерштрасса .Его обозначают буквой e и называют числом e.

26 Вопрос Непосредственное вычисление пределов, таблица пределов функций.

Непосредственное вычисление пределов основано на определении непрерывности функции в точке, на определении предела функции на бесконечности и на использовании свойств предела непрерывной функции. Утверждение. Значение предела в точке непрерывности функции равно значению функции в этой точке. То есть, для основных элементарных функций (и функций полученных из основных элементарных с помощью элементарных преобразований графиков), опираясь на их известные свойства, предел в любой точке из области определения, кроме граничных, можно вычислять как значение соответствующей функции в этих точках. Пример. Вычислить предел Решение. Так как функция арктангенса непрерывна на всей области определения, то она непрерывна и в точке . Следовательно, значение предела равно значению функции в этой точке. В граничных точках области определения вычисляются односторонние пределы. Например, для арксинуса и арккосинуса при или . На плюс или минус бесконечности вычисляются соответствующие пределы при или на основании определеня предела функции на бесконечности. Самые используемые свойства пределов.

1. , где k – коэффициент.

2. , если в результате не выходит одна из неопределенностей пределов.

3. Для непрерывных функций знак предельного перехода и знак функции можно менять местами:

Массу пределов можно вычислить зная свйства основных элементарных функций. Приведем значение пределов этих функций в таблице, а ниже дадим разъяснения и несколько примеров с решениями. Все значения можно вычислить основываясь на определении предела функции в точке и на бесконечности. Таблица пределов функций Держите эту таблицу основных пределов перед глазами при решении задач и примеров. Она значительно упростит Вам жизнь.