9 Вопрос Координаты вектора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

где  — координаты вектора.

Свойства

• Равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты

• Координаты коллинеарных векторов пропорциональны:

Подразумевается, что координаты вектора не равны нулю.

• Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат:

• При умножении вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число:

• При сложении векторов соответствующие координаты векторов складываются:

• Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:

• Векторное произведение двух векторов можно вычислить с помощью определителя матрицы

где

• Аналогично, смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель

Модуль вектора

Править

Модулем (длиной) вектора называется длина(норма) соответствующего вектора AB и обозначается как .

В евклидовом n-мерном пространстве длина вектора рассчитывается как корень из скалярного произведения этого вектора на себя, в том случае если это произведение задано как (x,y)=x₁ * y₁ + x₂ * y₂,...,x_n * y_n),где (x₁,x₂,...,x_n) (y₁,y₂,...,y_n) координаты вектров x,y в каком-то базисе - то оно: .

10 Вопрос Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов , обозначается символом (порядок записи сомножителей безразличен, то есть ).

Если угол между векторами , обозначить через , то их скалярное произведение можно выразить формулой

(1)

Скалярное произведение векторов , можно выразить также формулой

, или .

Из формулы (1) следует, что , если - острый угол, , если - тупой угол; в том и только в том случае, когда векторы и перпендикулярны (в частности, , если или ).

Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом . Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

.

Если векторы и заданы своими координатами:

, ,

то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

.

Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

.

Угол между векторами

, ,

дается формулой , или в координатах

.

Проекция произвольного вектора на какую-нибудь ось u определяется формулой

,

где - единичный вектор, направленный по оси u. Если даны углы , , , которые оси u составляет с координатными осями, то и для вычисления вектора может служить формула

1) , свойство коммутативности; 2) , свойство дистрибутивности; 3) ; 4) при ; 5) ; 6) Если  -- угол между векторами a и b, то ; 7) , если ; 8) тогда и только тогда, когда векторы a и b ортогональны.