1. Преобразование Лапласа.

Пусть задана функция вещественного переменного , определённая при . Функция, которая подвергается преобразованию Лапласа, должна обладать следующими свойствами:

1. функция должна быть определена и дифференцируема по всей положительной полуоси ;

2. функция должна быть тождественно равна 0 при , т.е. ( при );

3. функция должна быть ограниченна, т.е. для функции существуют такие положительные числа М и с, что при , т.е. , где с – абсцисса абсолютной сходимости (некоторое положительное число).

Т.о. для некоторой кусочно-непрерывной функции , возрастающей при не быстрее чем , может быть поставлено в соответствие её преобразование Лапласа.

Преобразованием Лапласа называют соотношение вида ,

ставящее функции вещественного переменного в соответствие функцию комплексного переменного ( ).

При этом называется оригиналом, – изображением, для обозначения соответствия между изображением и оригиналом используют знак соответствия « ».

Используется также символическая запись преобразования Лапласа, а именно, , где – оператор прямого преобразования Лапласа, - образ функции является функцией комплексного переменного , определяемой при .

Если функция тождественно равна 0 при , то может быть однозначно определена (с точностью до значений в точках разрыва) по своему - образу, т.е. , где - оператор обратного преобразования Лапласа.

Рассмотрим несколько примеров:

1.

;

2.

3.

Преобразование Лапласа обладает следующими свойствами:

• Линейности:

если , то , где

• Изменения масштаба во временной области:

если то .

• Смещения аргумента в области изображения (комплексной области):

пусть , тогда

• Смещения аргумента в области оригинала (вещественной области):

пусть , тогда

• Дифференцирования оригинала:

при ненулевых начальных условиях

при нулевых начальных условиях .

• Интегрирования оригинала при нулевых начальных условиях:

.

• Свертки функций в действительной области:

.

О предельных значениях:

- теорема о начальном значении

- теорема о конечном значении.

Комплексная передаточная функция

Вернёмся к записи дифференциального уравнения в виде

Пусть функции и являются непрерывными, дифференцируемыми, ограниченными и тождественно равными 0 при . Применим преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях и получим

Обозначим: ,

.

, где

- обычные функции комплексного переменного.

Изображение выходного сигнала системы имеет вид:

или .

Передаточной функцией в изображениях по Лапласу (ПФ) системы называется отношение изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению по Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Комплексная передаточная функция преобразования «вход–выход» системы может быть получена заменой символа дифференцирования (или оператора дифференцирования) на комплексную переменную .

Передаточная функция представляет собой дробно-рациональную функцию, причем в реальной системе порядок числителя не превышает порядка знаменателя , т.е. . Коэффициенты передаточной функции вещественны, поскольку они представляют собой функции от вещественных параметров системы.

Значения , при которых ПФ обращается в нуль, называются нулями ПФ. Нули являются корнями уравнения

.

Значения , при которых ПФ обращается в бесконечность, называются полюсами ПФ. Полюсы являются корнями уравнения

.

Передаточная функция имеет нулей и полюсов. Нули и полюса могут быть действительными или комплексно-сопряженными, поэтому их можно изобразить на комплексной плоскости (s-плоскости).

Нули и полюса называются левыми (правыми), если они расположены в левой (правой) части s-плоскости, и нейтральными или нулевыми, если они лежат соответственно на мнимой оси или в начале координат.