Перпендикулярные прямые

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.  Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Доказательство: Пусть а прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости  . Тогда прямая а проходит через точку А пересечения прямых b и c. Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости  . Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости   и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости  произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые b, c и х. Пусть точками пересечения будут В, С и Х. Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки АА₁ иАА₂. Треугольник А₁СА₂ равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (АА₁=АА₂). по той же причине треугольник А₁ВА₂ тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники А₁ВС и А₂ВС равны по трем сторонам. Из равенства треугольников А₁ВС и А₂ВС следует равенство углов А₁ВХи А₂ВХ и, следовательно равенство треугольников А₁ВХ и А₂ВХ по двум сторонам и углу между ними.

О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ. Если прямая, проведенная на плоскости черезоснование наклонной, перпендикулярна еепроекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Доказательство: Пусть АВ - перпендикуляр плоскости  , АС - наклонная и с - прямая в плоскости  , проходящая через основание С. Проведем прямую СA₁, параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости  . Проведем через прямые АВ и СA₁ плоскость  . Прямая сперпендикулярна прямой СA₁. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости  , а значит, и прямой АС. АНАЛОГИЧНО. Если прямая с перпендикулярна наклонной АС то она, будучи перпендикулярна и прямой СA₁ перпендикулярна плоскости  , а значит, и проекции наклонной СВ. Теорема доказана. 

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ. Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство: Пусть   - плоскость , b - перпендикулярная ей прямая,  - плоскость проходящая через прямую b, и с - прямая по которой пересекаются плоскости   и  . Докажем, что плоскости   и  перпендикулярны. Проведем в плоскости   через точку пересечения прямой b с плоскостью  прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и bплоскость  . Она перпендикулярна прямой с, так как прямые а и bперпендикулярны, то плоскости   и   перпендикулярны. Теорема доказана.