7. Дифференциальные уравнения второго порядка. Понижение порядка. Примеры.

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка называют соотношение вида:

(1)

Уравнение вида

(2)называется дифференциальным уравнением второго порядка, разрешенным относительно старшей производнойЗадача Коши для дифференциального уравнения второго порядка ставится так:

(3)

(4)

Здесь - заданные числа, которые называются начальными данными.Геометрический смысл задачи Коши (1), (3), (4) состоит в нахождении решения уравнения (1), график которого проходит через данную точку и касательная к графику решения в точке имеет заданный коэффициент наклона .Теорема существования и единственности для задачи Коши (2), (3), (4) формулируется аналогично соответствующей теореме для уравнения первого порядка.Пусть есть функция трех переменных, соответствующая правой части уравнения (2)Теорема. Если функции непрерывны в некоторой области , то для любой точки задача Коши (2), (3), (4) имеет единственное решение , определенное в некоторой окрестности точки .Единственность решения понимается в том же смысле как для уравнения 1^го порядка.

2. Дифференциальные уравнения второго порядка, которые приводятся к уравнениям первого порядка.

Один из способов решения дифференциальных уравнений второго и высших порядков состоит в понижении порядка уравнения.Рассмотрим два типа уравнений 2^го порядка, которые с помощью подходящей подстановки, приводятся к уравнениям первого порядка.

1).Уравнение вида

, (1)

не содержащее явным образом Введем функцию p=y=y(x). Тогда y=p. Подставив эти значения y и y в (1), получим уравнение 1^го порядка относительно функции p:

f(p,p,x)=0 . (2)

Если из уравнения (2) удастся найти все решения p=p(x), то проинтегрировав их, найдем все решения уравнения (1).Замечание. Аналогично понижается порядок у уравнения n^го порядка вида:

,

которое не содержит искомой функции y и её производных до порядка (к-1).

Это уравнение приводится к уравнению (n-k)-го порядка

с помощью замены .

2. Уравнение вида :

, (3)не содержащее явным образом x.

Для решения введем также функцию: (4)

Только теперь аргументом функции р будет y, то есть:p=p(y). (5)

Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим:

,

То есть . (6)

Подставив (4),(6) в (3), получим уравнение

, (7)

являющееся уравнением первого порядка относительно функции (5).Теперь для того, чтобы из решения p = p(y) уравнения (7) получить решение у=y(x) уравнения (3) нужно решить ещё одно уравнение 1^го порядка: которое является уравнением с разделяющимися переменными. Замечание. Аналогично, с помощью подстановки (4)-(6) понижается порядок уравнения вида:

.

Пример 1. Решить уравнение:

.

Это уравнение не содержит y. Полагая , получим линейное уравнение 1^го порядка:

. (8)

Решение его ищем по известному методу в виде: .После подстановки в (8) получим:

. (9)

Функцию подберем из уравнения: После “разделения переменных” из соотношения найдем ненулевое частное решение: . Тогда уравнение (9) примет вид

Отсюда

Проинтегрировав, получим общее решение исходного уравнения:

Пример 2. Решить задачу Коши.

В это уравнение не входит x. Порядок уравнения понизим с помощью подстановки: y’=p , где p=p(y). Тогда согласно (6), и исходное уравнение примет вид:

1. Случай: p=0. Отсюда , то есть y=C=const.2. Случай: p0 , тогда p^’tg y=2p.Это уравнение с разделяющимися переменными относительно функции p=p(y).Разделим переменные: Проинтегрируем это равенство :

, где =const.