13. Функциональные рядЫ. При шахи Коши и Даламбсра для знакопеременных рядов.

Как мы уже отмечали, членами бесконечного ряда могут быть не только числа, но и функции, например, Суммой такого ряда также является функция, значение которой в каждой точке получается как предел вычисленных в этой точке частичных сумм. На рис. 1 показаны графики нескольких частичных сумм и суммы ряда (при x, изменяющемся от 0 до 1); sn(x) означает сумму первых n членов. Сумма ряда представляет собой функцию, равную 1 при 0 Ј x < 1 и 0 при x = 1. Функциональный ряд может сходиться при одних значениях x и расходиться при других; в рассмотренном нами примере ряд сходится при –1Ј x <1 и расходится при других значения x.

Сумму функционального ряда можно понимать по-разному. В некоторых случаях важнее знать, что частичные суммы близки (в том или ином смысле) к некоторой функции на всем интервале (a, b), чем доказывать сходимость или расходимость ряда в отдельных точках. Например, обозначив частичную сумму n-го порядка через sn(x), мы говорим, что ряд сходится в среднем квадратичном к сумме s(x), если Ряд может сходиться в среднем квадратичном, даже если он не сходится ни в одной отдельной точке. Существуют также и другие определения сходимости функционального ряда.Некоторые функциональные ряды получили название по тем функциям, которые в них входят. В качестве примера можно привести степенные ряды и их суммы: Первый из этих рядов сходится при всех x. Второй ряд сходится при |x| < 1, если r < –1; при –1Ј x < 1, если –1 < r < 0; и при |x| Ј 1, если r > 0 (за исключением тех случаев, когда r – неотрицательное целое число; в последнем случае ряд обрывается после конечного числа членов). Формула (17) называется биномиальным разложением для произвольной степени. Признак Даламбера ∑Un c положительными членами сущ. lim Un+1/Un =l n→∞то ряд сходится если l<1 и расходится если l>1, если l=1 то вопрос о сходимости нерешён.Признак Коши∑An – знакополож. ряд lim ª√An=qn→∞ q<1 – сходится ; q>1 – расходится.

14. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Формула Коши и Даламбсра для радиуса сходимости

Определение.Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом: Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x0), то есть ряд вида где x0 − действительное число. Интервал и радиус сходимости. Рассмотрим функцию Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.Если интервал сходимости представляется в виде где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно. Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле или на основе признака Даламбера: