§ 62. Аналитические и численные методы расчета процессов в пространстве состояний

Рассмотрим классический и численный методы применительно к расчетам динамических процессов по уравнению пространства состояния:

.

Вначале ограничимся рассмотрением свободного движения По аналогии со скалярным случаем можно доказать, что переходный процесс свободного движения описывается формулой:

где - экспоненциальная матрица, вычисляемая приближенно, как сумма членов степенного ряда Маклорена, (I - единичная матрица).

Для общего случая решение данного уравнения определяется по формуле Коши:

.

Так как и в данное решение входит экспоненциальная матрица, то она для данного уравнения получила название фундаментальной матрицы решения. В простейшем случае можно провести аналитическое решение.

Получим из формулы Коши разностное уравнение (метод 1.3 §8) и составим соответствующую структурную схему для решения численным методом. Весь диапазон времени разбиваем на малые шаги интегрирования h.

Подставим в формулу Коши t = h, затем t=2h:

Сравнивая эти два результата, можно выразить последующий через предыдущий:

.

Обобщим этот результат для момента времени t=(k+1)h:

.

Преобразуем последний интеграл следующим образом:

1) Введем новую переменную  = (k+1)h-. Учтем, что

d = -d,  = 0 при = (k+1)h,  = h при  = kh;

2) Считая входную величину u() постоянной на интервале от kh до (k+1)h и равной (нулевая экстраполяция) вынесем её за интеграл;

3) Для этого интеграла и для exp(Ah) ограничимся (m+1) членами разложения экспоненциальной матрицы в степенной ряд Маклорена:

cоответственно

В результате запишем разностные уравнения для переменных состояния и выходной величины:

Им соответствует следующая структурная схема для цифрового моделирования:

Звено запаздывания e^-hs превращает значение x[k+1], полученное на данном шаге, в x[k] для следующего шага.

П ример. Найти решение для системы, состоящей из двух интеграторов, применив при этом формулу Коши.

Выше (§21 темы 2)было найдено

В ычисляем

Подставляя в формулу Коши, найдем

Отсюда ,

§ 62. Связь временных характеристик с вещественной частотной характеристикой

Рассмотрим эту связь для нахождения весовой функции (t). Известно, что эта функция для устойчивой системы с течением временем затухает, стремясь к нулю, т.е. отвечает условию абсолютной сходимости, которое состоит в конеч-

ности заштрихованной площади.

Это дает возможность для нахождения весовой функции применить обратное преобразование Фурье:

, (1)

где Ф(j) — преобразование Фурье весовой функции.

Преобразование Фурье получается из преобразования Лапласа подстановкой s=j, а изображением Лапласа Ф(s) является передаточная функция:

. (2)

Учтем, что

(3)

и (-t)0, так как следствие не может предшествовать причине, т.е.

. (4)

Суммирование (1) и (4) с учетом (2) и (3) дают искомый результат:

. (5)

Для нахождения переходной функции нужно (5) проинтегрировать по времени:

.

Так как подынтегральная функция четная, то можно пределы интегрирования сократить в два раза, а интеграл удвоить:

. (6)

Из (6) вытекают основные свойства взаимосвязи динамических характеристик:

1) Свойство линейности:

если P()=P_i(), то h(t)=h_i(t), где Ph, P_ih_i;

2. Свойство изменения масштаба по вертикали:

если P₁()=aP₂(), то h₁(t)=ah₂(t);

3) Свойство изменения масштаба по горизонтальным осям:

если P₁()=P₂(b), то h₁(t)=h₂(t/b);

4) Связь начальных и конечных значений

h(0) = P(), h() = P(0).