Признаки равномерной сходимости

Критерий Коши: Для равномерной сходимости на E необходимо и достаточно, чтобы для существовало для и p натуральных выполнялось неравенство сразу для xE.

1. Пусть . Возьмём . Тогда для и будет . Тогда тем более для натуральных. Следовательно .

2. Пусть для для натуральных и будет . Тогда для каждого фиксированного x последовательность будет фундаментальной, а, значит, для . Устремим в неравенстве p к . Тогда получим: для и для будет , что и означает, что .

Критерий Коши для рядов: Для того чтобы равномерно сходился на E, необходимо и достаточно, чтобы для для натуральных и выполнялось .

Признак Вейерштрасса: Если на и сходится, то равномерно сходится на E.

Возьмём . Т.к. сходится, то для и натуральных будет . Тогда для натуральных и будет . По критерию Коши равномерно сходится на E (и тоже равномерно сходится на E).

Признак Коши: Если

1. для (т.е. ряд равномерно ограничен),

2. монотонна при каждом фиксированном x,

3. при ,

то равномерно сходится на E.

Следует из того, что для монотонно не убывающих при .

Признак Абеля: Если

1. равномерно сходится на E,

2. монотонна при каждом фиксированном x,

3. для ,

то равномерно сходится на E.

Теоремы о непрерывности суммы ряда:

Пусть на промежутке и непрерывны. Тогда непрерывна на X.

Возьмём . Тогда для будет . Возьмём любое фиксированное и рассмотрим , где . Имеем . Т.к. ­ непрерывна на X, то для нашего  при будет . Тогда для и , т.е. при будет , следовательно, непрерывна в любой точке .

Пусть непрерывны на X, ряд . Тогда непрерывна на X.

Имеем . Но непрерывна, следовательно, непрерывна.

Теоремы о почленной интегрируемости рядов:

Пусть на непрерывны и . Тогда для .

По условию все интегрируемы на и, следовательно, на , и для для и будет . Тогда, во-первых, непрерывна, а, значит, интегрируема на и на , и, во-вторых, для и . Следовательно, .

Пусть непрерывны на , ряд . Тогда для (т.е. ).

Т.к. непрерывны на , то непрерывны на . Кроме того, . Тогда по предыдущей теореме для . Но , т.к. n – конечное число. Тогда при .

Теорема о почленной дифференцируемости рядов: Пусть непрерывны на , а . Тогда дифференцируема на , причём (т.е. ).

Проведём доказательство сначала для непрерывны на . По теореме об интегрировании функциональной последовательности для , т.е. , или , откуда . Т.к. непрерывна на , то . Заметим теперь, что частичные суммы и обладают свойствами: и непрерывны на . Отсюда по доказанному выше .

Степенные ряды

Степенными рядами называются ряды вида или .

Формула Коши-Адамара: Для любого степенного ряда существует число при ряд сходится абсолютно, при ряд расходится. Если R = 0, то ряд сходится только при x = 0. Если R = , то ряд абсолютно расходится для x. Это число R называется радиусом сходимости и может быть найдено по формуле: , где (т.е. ).

1. Пусть R  (0;), т.е. l  (0;).

а) Возьмём сначала , т.е. . Тогда существует достаточно малое . По определению правее l +  может быть только конечное число , т.е. N : для n > N будет . Тогда для , откуда по радикальному признаку Коши сходится абсолютно для .

б) Возьмём теперь , т.е. . Тогда существует достаточно малое . По определению . Тогда K: для k > K будет , значит, , откуда при ряд расходится, т.к. при n  .

2. Пусть теперь R = , т.е. l = 0, т.е. . Т.к. для n, то все частичные пределы последовательности , а т.к. наибольший из них равен 0, то у один частичный предел, т.е. . Покажем, что для абсолютно сходится. Т.к. при n  , то N : для n > N будет . Тогда и по радикальному признаку Коши сходится абсолютно.

3. Пусть, наконец, R = 0, т.е. l = . Это значит, что не ограничена сверху. Докажем, что для ряд расходится. Предположим, что он сходится. Тогда при n  0. Тогда ограничена, т.е. , откуда , а, значит, , т.е. ограничена, что противоречит условию, следовательно, расходится.

Для будет абсолютная сходимость при и расходимость при .

Множество будем называть кругом сходимости.

Различие между сходимостью и абсолютной сходимость у может быть только при .

На окружности (в комплексной плоскости) возможны разные случаи.

Пусть для . Тогда в – непрерывная функция.

Возьмём . Тогда . На сходится равномерно. Все его члены непрерывны, следовательно, непрерывна на , в том числе в точке . Т.к. эта точка – любая из , то непрерывна на .

Пусть в , где R – радиус сходимости ряда. Тогда ряд можно почленно дифференцировать, т.е. , причём радиус сходимости полученного ряда тоже равен R.

1. Сначала докажем, что радиусы сходимости обоих рядов совпадают. Пусть – радиус сходимости для . Докажем, что .

а) Возьмём сначала , т.е. такое, что сходится. Тогда будет сходиться ряд , а т.к. , то будет сходиться и ряд , т.е. . Отсюда , т.к. x – любое число из интервала .

б) Возьмём теперь . Тогда сходится и , а, значит, тоже сходится. Тогда при , и, следовательно, (т.е. ограничена). Отсюда – сходится по признаку Даламбера, т.к. . Следовательно, по первому признаку сравнения, сходится , т.е. .

в) Т.к. и , то .

2. Следовательно, оба ряда сходятся в одном и том же интервале и, значит, в продифференцированный ряд сходится равномерно, поэтому для можно найти и, т.к. непрерывны везде, то по теореме о дифференцируемости функциональных рядов можно почленно дифференцировать, в частности, в .

1. Если для , то в – бесконечно дифференцируемая функция, причём (для доказательства достаточно применить предыдущую теорему любое конечное число раз).

2. Если для , то в будет для m натурального .

Теорема о единственности степенных рядов: Если для , то ряд является рядом Тейлора своей суммы, т.е. если , то . Поэтому, если в , где , то для n.

1. Имеем , откуда , .

2. Если и , то .

Теорема об интегрируемости степенных рядов: Если в , где , то в ряд можно почленно интегрировать по , в частности, для .

Т.к. на (в частности, на ) для равномерно сходится и непрерывны, то можно интегрировать ряд почленно. При этом радиус сходимости не меняется, т.к. иначе он изменился бы при дифференцировании ряда .

Если в в и , то в будет (последнее следует из того, что в оба ряда сходятся абсолютно).

Если в в , то в сходится ряд , для которого , т.е. .