Условная сходимость

Говорят, что сходится условно, если сходится, а расходится.

Пример: .

Специальный признак сходимости: Пусть на и непрерывны, интегрируема на каждом и пусть – какая-то первообразная для . Если существует конечный и сходится , то сходится и .

По формуле интегрирования по частям имеет конечный предел при сходится.

Условия специального признака выполнены, если и непрерывны на , интегрируема на и выполнены условия:

1. ограничена на .

2. при .

3. сходится.

Действительно, т.к. ограничена и при , то , кроме того, ограничена, а т.к. сходится, то сходится и сходится .

Признак Дирихле: Пусть и непрерывны на , интегрируема на и пусть

1. ограничен для .

2. монотонна на .

3. при .

Тогда сходится.

Проверим выполнение условий следствия специального признака.

1. Обозначая , видим, что ограничена на .

2. По условию при .

3. («+», если , «–», если ) , т.е. сходится.

Следовательно, выполнены все условия специального признака и, значит, сходится.

Признак Абеля: Пусть и непрерывны на , интегрируема на и пусть

1. сходится.

2. монотонна и ограничена.

Тогда сходится.

Т.к. монотонна и ограничена, то существует конечный . Тогда . Т.к. сходится, то сходится , а сходится по признаку Дирихле, т.к. ограничен, монотонна и при . Следовательно, сходится.

Признаки Дирихле и Абеля только достаточны. Расходимость с их помощью показать нельзя.

Числовые ряды

Простейшие свойства:

1. Ряды и либо оба сходятся, либо оба расходятся. (Очевидно, т.к. критерий Коши даёт для обоих рядов одно и то же неравенство. При этом если ряды сходятся, то ).

2. Пусть . Тогда и либо оба сходятся, либо оба расходятся. (Если обозначить , то ясно, что . Отсюда, если , то и т.п.).

3. Если и оба сходятся, то при тоже сходится, причём . ( при ).

Ряды с положительными членами

Если , то не убывает. (Действительно, для , т.е. ).

Необходимый и достаточный признак сходимости: Если , то сходится тогда и только тогда, когда ограничена (сверху).

То, что ряд сходится, равносильно тому, что существует конечный , а это, т.к. не убывает, равносильно ограниченности сверху .

I признак сравнения: Если , то из сходимости следует сходимость , из расходимости следует расходимость .

1. Пусть сходится. Обозначим . По необходимому и достаточному признаку ограничена и , т.е. тоже ограничена, а значит сходится.

2. Пусть расходится. Тогда при . Но , т.е. расходится.

II признак сходимости: Если и существует конечный , то и либо оба сходятся, либо оба расходятся (в частности, если (т.е. )).

Возьмём . Тогда для будет , т.е. для . Отсюда:

1. Если сходится, то сходится и тоже сходится, следовательно, сходится.

2. Если сходится, то сходится и и сходится сходится .

III признак сходимости: Пусть и . Тогда из сходимости следует сходимость , из расходимости следует расходимость .

Имеем для . Перемножим эти неравенства. Тогда , т.е. . Отсюда по первому признаку если сходится, то и сходится, если расходится, то и расходится.

Радикальный признак Коши: Пусть .

1. Если для , начиная с некоторого, , то сходится. Если же для , начиная с некоторого , то расходится.

2. Если , то при сходится, при расходится.

1. Сравним с рядом для случая и с для . Тогда в первом случае, т.к. , то и т.к. , то сходится сходится. Во втором случае , начиная с некоторого n. расходится расходится.

2. Пусть теперь . Если , то найдётся и для , начиная с некоторого, будет . Отсюда сходится.

Признак Даламбера: Пусть .

1. Если при , начиная с некоторого, будет , то сходится, если же , то расходится.

2. Если , то при ряд сходится, при – расходится.

1. Применим к и рядам (при ) и III признак сходимости. Тогда в первом случае и сходится. Следовательно, сходится. Во втором случае .

2. Пусть . Тогда, если , то и для будет . Следовательно, по первому случаю сходится. Если же , то для будет и расходится.

При как в признаке Даламбера, так и в признаке Коши требуется дополнительное исследование.

Интегральный признак Коши-Маклорена: Пусть , причём непрерывна на , монотонно убывает и . Тогда и либо оба сходятся, либо оба расходятся.

1. Обозначим и заметим, что сходимость эквивалентна существованию конечного . Действительно, т.к. , то для будет . Поэтому, если , то при . Если же , то тем более .

2. Теперь заметим, что сходимость эквивалентна сходимости ряда . Действительно, (т.к. ) и сходимость есть то же самое, что и сходимость .

3. Сравним с . Имеем (по теореме Лагранжа) , где . По монотонности будет . Отсюда видно, что если сходится , то сходится , и, значит, сходится . Обратно, если сходится, то сходится , а, значит, по I признаку сходится .