Приложение определённого интеграла

Непрерывной кривой называется множество точек с координатами , для которых , , где и непрерывны на .

Кривая называется простой, если при разных значениях t получаются разные точки, т.е. для будет .

Кривая L называется параметризованной, если для неё и существует разбиение на каждом кривая будет простой.

Кривая называется гладкой, если на непрерывны и (т.е. кривая в каждой точке имеет касательную).

Пусть – простая кривая. Введём разбиение . Обозначим точки и положим . Если при всех разбиениях T ограничено сверху, то кривая называется спрямляемой, а число – длиной кривой .

Лемма: Если – измельчение T, то

Достаточно доказать для добавления одной точки . Тогда , т.к. сумма длин двух сторон треугольника не больше длины третьей стороны.

Лемма: .

.

Если такова, что и ограничены на , то  спрямляема.

По условию на . Имеем для любого разбиения T (по теореме Лагранжа) , т.е. ограничено сверху и  спрямляема (здесь ).

Если такова, что и интегрируемы на , то  спрямляема и (в частности, это так, если  – гладкая кривая).

Заметим, что для любого разбиения , где и , что очень похоже на – интегральную сумму для , который существует по следствию из теоремы об интегрируемости сложной функции. Оценим (по лемме) . Обозначим . Тогда . Возьмём . Тогда, т.к. и эти функции, и интегрируемы, то для всех разбиений T с будет при выполнено: и . Тогда для с будет . Для того же  по определению существует такое разбиение , что . Измельчим так, чтобы получить с . Тогда и . Т.к. , то , откуда . Таким образом, для будет , откуда .

Замечания:

1. Если , , , интегрируемы на , то .

2. Если и интегрируема на , то (следует из общей формулы, если взять , .

3. Если (в полярных координатах) и при этом интегрируема на , то .

Имеем , . Тогда , и . Отсюда .

4. На спрямляемой прямой можно ввести натуральный параметр – длину дуги.

5. Дифференциал дуги. Если – гладкая кривая на и , то , откуда или , т.е.

6. Если  – гладкая кривая и точка , то

Следует из того, что , и, значит, .

6. Если  – гладкая кривая, то , где  – угол наклона касательной, направленной вдоль кривой, с положительным направлением оси х.

Придадим приращение . Тогда и получат приращения и и , . Отсюда . Аналогично – .

Площади фигур

Многоугольной фигурой называется объединение нескольких многоугольников.

Для многоугольной фигуры определена площадь со свойствами:

1. .

2. Если , то .

3. Если и , то .

4. Если (конгруэнтна, т.е. можно совместить движением), то .

5. Площадь единичного квадрата равна 1.

6. Е сли , то .

Следует из того, что , , а .

Пусть дана ограниченная фигура  и пусть – множество многоугольных фигур , – множество многоугольных фигур . При этом множество может быть пустым, в отличие от . Рассмотрим теперь и . Если , то положим . Т.к. для будет , где – некоторая описанная фигура, то ограничено сверху и, значит, существует конечный . Т.к. все , то . Если , то фигура  называется квадрируемой и общее значение – площадь фигуры .

Замечание:

Пусть . Положим . Тогда по определению и , и , , , откуда . Значит, , что противоречит условию.

Для квадрируемости фигуры  необходимо и достаточно, чтобы для существовал многоугольные и и .

1. Пусть  квадрируема и – площадь . Тогда для по определению грани и и и , откуда .

2. Пусть для существуют соответствующие и . Тогда , откуда и  – квадрируема.

Точка M называется граничной для фигуры , если в любом круге с центром в точке M имеются как точки множества , так и точки, не принадлежащие фигуре .

Точка M называется внутренний для фигуры , если существует такой круг с центром в точке M, что все его точки принадлежат фигуре .

Множество всех граничных точек называется границей.

Вторая формулировка критерия квадрируемости: Для квадрируемой фигуры необходимо и достаточно, чтобы для нашлась многоугольная фигура : граница и (т.е. ).

Говорят, что , если для существует многоугольная фигура и .

Третья формулировка критерия квадрируемости: Фигура  квадрируема тогда и только тогда, когда .

Спрямляемая кривая (в частности, гладкая) имеет площадь, равную 0.

Пусть длина кривой L. Разобьём кривую точками на дугу с длиной и построим с центрами в точках квадраты со сторонами . Тогда вся кривая окажется внутри объединения квадратов: , причём при , т.е. для может быть сделано . Значит .

Любая фигура, ограниченная конечным числом спрямляемых кривых (в частности, гладких), квадрируема.

Свойства площади квадрируемой фигуры :

1. .

2. Если , то , т.к. из того, что следует, что .

3. .

4. Если и квадрируемы, то тоже квадрируема.

Следует из того, что граница , а и .

5. Если и квадрируемы и не имеют общих точек, то .

Возьмём . Тогда и . Образуем . Тогда , а . Имеем . При этом мы имеем право писать , т.к. , а . Тем самым по критерию квадрируема. Сложим предыдущие неравенства: . Имеем .

5. Если и квадрируемы, то тоже квадрируема (Следует из того, что , а т.к. и , то квадрируема).

Если на и интегрируема на и , то  квадрируема и .

1. Возьмём . Т.к. интегрируема на , то по критерию интегрируемости существуют суммы Дарбу  и . Но – площадь вписанной ступенчатой фигуры, т.е. существуют многоугольные фигуры F и G: и . По критерию квадрируемости  квадрируема.

2. Заметим далее, что .

Площадь криволинейного сектора:

.

Объёмы тел

Введём разбиение . Тогда при . Таким образом, .

Объём тела вращения: .

Площадь поверхности вращения:

Несобственные интегралы

Пусть интегрируема на , и . Тогда называется несобственным . Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный сходится.

Примеры:

1. .

2. .

3. .

4. .

Аналогично, , , где a – произвольное число.

Пусть интегрируема на , где и в окрестности b неограниченна. Тогда – несобственный интеграл.

Примеры:

1. .

2. .

3. .

Будем говорить , что рассматривается несобственный интеграл с особенностью в точке b, если:

1. интегрируема на , где .

2. Либо , либо b – конечно, а – неограниченна в окрестности b.

В этом случае .

Критерий Коши: Для сходимости с особенностью в точке b необходимо и достаточно, чтобы для существовало и для было бы .

Введём . Тогда сходимость равносильна существованию конечного предела , а это, по критерию Коши для функции, равносильно условию: для и для , будет , т.е. , что равносильно нашему утверждению.

Говорят, что с особенностью в точке b сходится абсолютно, если сходится .

Если сходится абсолютно, то он и просто сходится.

Возьмём . Тогда и для будет . Тогда для тех же параметров будет . Отсюда по критерию Коши сходится.

Простейшие свойства

1. Если – несобственный интеграл с особенностью в точке b, , то – тоже несобственный интеграл с особенностью в точке b, причём оба интеграла либо сходятся, либо нет.

.

2. Если и несобственные с особенностями в точке b, то . Если при этом и и два из них сходятся, то сходится и третий.

.

3. Если несобственный с особенностью в точке b, для и непрерывна в точке b, то .

Действительно, .

Примеры:

1. .

2. .

Интегралы от неотрицательных функций

Если и , то не убывает на (Действительно, если , то ).

Пусть и интегрируема на , где . Тогда для сходимости необходима и достаточна ограниченность сверху функции на .

Сходимость равносильна существованию конечного , что, т.к. не убывает, равносильно ограниченности сверху на .

I признак сходимости: Если и – интегралы с особенностями в точке b и на будет , то

1. Если сходится , то сходится и .

2. Если расходится , то расходится и .

1. Пусть сходится . Это значит, что для . Но тогда сходится.

2. Пусть расходится. Т.к. не убывает, то это значит, что , и тогда , т.е. расходится.

Для выполнения первого признака необходимо, чтобы неравенство выполнялось лишь на каком-то .

II признак сходимости: Пусть и – интегралы с особенностями в точке b, на , и существует конечный . Тогда либо оба интеграла сходятся, либо оба расходятся (в частности, если эквивалентно при ).

Возьмём такое , что . Т.к. , то и в будет , т.е. будет в . Пусть сходится, тогда сходится, и по I признаку сходится. Пусть сходится, тогда сходится, откуда тоже сходится. Отсюда следует и утверждение о расходимости, т.к., например, если расходится, то не может сходиться, иначе сходился бы . Заметим в заключение, что то, что верно для , верно и для .

Пример: , но сходится, следовательно, сходится и тоже сходится, т.к. .

Обычно сравнивают с хорошо известными функциями: .