
- •II семестр – весенний семестр 2003 года
- •Необходимое и достаточное условия интегрируемости
- •Классы интегрируемых функций
- •Интегралы как функции множества
- •Оценки интегралов
- •Интеграл как функция верхнего предела
- •Приложение определённого интеграла
- •Площади фигур
- •Условная сходимость
- •Ряды со знакопеременными членами
- •Действия над рядами
- •Функциональные ряды и последовательности
- •Признаки равномерной сходимости
- •Степенные ряды
- •Понятие о рядах Фурье
- •Функции нескольких переменных
- •Последовательности точек
- •Дифференцирование функций нескольких переменных
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Зависимость функций
Оценки интегралов
Если
и
интегрируема на
и
,
то
.
Т.к.
,
то
и
.
Если
и обе функции интегрируемы на
,
то
.
,
т.к.
.
Если
интегрируема на
,
то
.
Пусть, например,
.
Т.к.
,
то
,
т.е.
.
I теорема о среднем:
Пусть
интегрируема на
и
.
Тогда
и
.
Если же
непрерывна на
,
то
.
Пусть, например,
.
Т.к.
,
то
,
т.е.
.
Обозначим
.
Тогда
и
.
Если
непрерывна на
,
то положим
,
.
Т.к.
,
то
.
Обобщённая I
теорема о среднем: Пусть
и
интегрируемы на
,
сохраняет знак на
и
.
Тогда
и
.
Если, кроме того,
непрерывна на
,
то
.
Пусть, например,
.
Тогда при
,
откуда
.
Если
,
то
,
т.е. при
будет
.
Если же
,
то
.
Положив
,
получим
.
Для непрерывной
– как в предыдущей теореме.
Пусть
непрерывна на
,
,
и
на всём
.
Тогда
.
По условию
.
Т.к.
непрерывна на
,
то найдётся
на
будет
(естественно, выбираем
так, чтобы
).
Тогда
.
Пусть
интегрируема на
,
а
только в конечном числе точек
.
Тогда
тоже интегрируема на
и
.
Имеем
при
.
Но тогда
отличается от
не более чем в
слагаемых, которые стремятся к 0 при
,
т.е.
интегрируема на
.
Тогда
,
т.к. при вычислении предела можно брать
для
.
Интеграл как функция верхнего предела
Пусть
интегрируема на
.
Тогда для
– интеграл с верхним
пределом.
Если
интегрируема на
,
то
непрерывна.
Возьмём
и
и рассмотрим
.
Имеем
(по I теореме о среднем)
,
где
.
Отсюда при
будет
и, следовательно,
при
непрерывна на
.
Если
непрерывна на
,
то
дифференцируема на
,
причём
для
,
т.е.
– первообразная для
на
.
Имеем для
и
будет
(по I теореме о среднем
для непрерывной функции)
,
где
.
Т.к.
непрерывна на
,
то при
будет
,
т.е. существует
.
Формула Ньютона-Лейбница: Если
непрерывна на
и
– какая-то первообразная для
на
,
то
.
Заметим вначале, что первообразные у
существуют. Например,
.
Т.к. две первообразные на одном множестве
отличаются на постоянную, то
.
Отсюда
и, значит,
.
В частности,
.
Если на
заданы
и
,
причём
и
непрерывны на
(тогда
и
тем более непрерывны на
),
то
.
Заметим, что
– первообразная для
,
т.к.
.
Т.к.
непрерывна на
,
то к ней применима формула Ньютона-Лейбница:
.
Пусть
непрерывна на .
– функция такая, что значения
заполняют , когда
, причём
непрерывна на
(тогда и непрерывна на ).
.
Тогда
.
Пусть
– первообразная для
на
.
Тогда
– первообразная для
на
,
т.к.
.
Т.к.
на
и
на
непрерывны, то применима формула
Ньютона-Лейбница:
,
.
Пусть
интегрируема на
и
– такая функция, что
непрерывна на
,
всюду на
или всюду, исключая конечное число
точек. Тогда
.
Разобьем
точками
так, что все точки, в которых
не попадают в число точек разбиения.
Тогда
(по т. Лагранжа для каждого
)
(где
)
.
Т.к.
интегрируема на
,
то
при любых разбиениях T
с
при любом выборе
,
где
,
т.е., в частности, при нашем разбиении и
нашем выборе
.
Но при таком разбиении и выборе
.