Математический анализ

Лектор: Юрченко Александр Максимович

II семестр – весенний семестр 2003 года

Определённый интеграл

Пусть дан . Разбиением T отрезка называется набор точек или набор отрезков , где . Будем обозначать .

П усть на отрезке задана функция . Возьмём некоторое разбиение отрезка и в каждом отрезке выберем точку . Сумма называется интегральной. Число I называется интегралом от , если для для всех разбиений T с при любом выборе точек будет (т.е. ). Обозначается ­ (интеграл, определённый таким образом, называется интегралом Римана).

Если не ограничена на , то неинтегрируема на .

Пусть не ограничена на . Возьмём любое разбиение . Тогда на не ограничена. Выберем в каждом отрезке , где точку и зафиксируем. Тогда , где пока не выбрано. Возьмём . Т.к. не ограничена на , то можно выбрать так, что . Тогда , т.е. не ограничена и не может иметь предела.

Пример: функция Дирихле . Возьмём . Если все – рациональные, то , а если все – иррациональные, то , следовательно, неинтегрируема по Риману.

Необходимое и достаточное условия интегрируемости

Изначально считаем, что на ограничена.

Введём числа , , , . Т.к. ограничена, то все эти числа существуют.

Суммы и – соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу при разбиении T.

С войства:

1. Для данного разбиения T при будет , а . Следует из того, что .

2. Для фиксированных разбиений будет , а . Рассмотрим . Возьмём . Т.к. , то для нашего . Тогда . Т.к. кроме того, для будет , то .

3. При измельчении разбиения нижняя сумма Дарбу либо останется прежней, либо возрастёт, верхняя – либо останется прежней, либо уменьшится. Достаточно доказать при добавлении одной точки. Для нижней суммы. и , , и , где и . , т.е. .

4. Для любых двух разбиений и будет . Пусть даны разбиения и . Введём – их общее измельчение. Тогда , т.е. .

– нижний интеграл Дарбу, а – верхний интеграл Дарбу.

5. и существуют. Рассмотрим . Оно не пусто, т.к. содержит, например, и ограничено сверху любой фиксированной верхней суммой, например, , следовательно . Для – аналогично.

6. . Предположим, что . Пусть . По определению и и , . Сложим эти неравенства: , т.е. или , т.е. , чего быть не может.

7. Если к разбиению T добавлено p точек и получено разбиение , причём , то выполняются неравенства , . Достаточно рассмотреть для . Добавим точку . Тогда , , , , . Имеем , , откуда , .

8. Лемма Дарбу: , . Достаточно рассмотреть случай, когда (Т.к. если , то и все ). Возьмём . Т.к. , то . Пусть p – количество точек разбиения T*, лежащих внутри . Положим и рассмотрим произвольное разбиение T с . Добавим к Т точки T* и получим разбиение . Тогда, по седьмому свойству, . С другой стороны, – измельчение T*, поэтому , откуда . Итак, , . Сложим и получим . Т.к. T – произвольное разбиение, то это и значит, что .

I формулировка критерия интегрируемости: Для того, чтобы ограниченная функция была интегрируема на , необходимо и достаточно, чтобы для существовало бы разбиение .

1. Пусть . Возьмём . По определению интеграла существует разбиение T такое, что при любом выборе точек будет . Т.к. для фиксированного T будет , , то для того же и , . Отсюда .

2. Пусть для . Т.к. , то для будет , т.е. . Обозначим и докажем, что . Т.к. , то для для будет , , а т.к. при будет , то для при будет , т.е. .

Если , то называется интегрируемой по Дарбу и I – интеграл по Дарбу.

Понятия интеграла Римана и интеграла Дарбу совпадают: .

В критерии достаточно существование  и .

Т.к. , то .

II формулировка критерия интегрируемости: Для интегрируемости , ограниченной на , необходимо и достаточно, чтобы для существовало разбиение T такое, что .