Дайте определение устойчивого решения. Приведите пример решения устойчивого, но не асимптотически.
Решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ непрерывно зависит от начальных условий при , если правая часть удовлетворяет условиям теорем существования и единственности (СМ. ВОПРОС 23!!!).
Но это было раньше. А теперь мы рассмотрим зависимость задачи Коши от начальных условий, когда . Будем предполагать, что для системы уравнений (1) выполнены условия теорем существования и единственности на множестве таких точек , что , , где - открытое множество в пространстве переменного . Пусть - решение системы уравнений (1), определённое при .
Определение:
Решение системы (1) называется УСТОЙЧИВЫМ ПО ЛЯПУНОВУ, если для , решение определено при и .
Если, кроме того, , то решение называется асимптотически устойчивым.
Пример:
,
Рассмотрим:
.
решение будет устойчивым (т.е. е в степени
1;
если бы степень была положительной, то
это была бы б.б. величина, и решение было
бы неустойчивым).
Дайте определение асимптотически устойчивого решения. Пример.
Определение:
(Можно посмотреть 27). Другой вариант определения:
Дана система уравнения:
И начальные условия:
Если мы поменяем начальное условие, то
как изменится решение?
1). Устойчивое решение – практически не изменится.
2). Неустойчивое решение – сильно изменится.
Определение: решение
данной выше системы называется УСТОЙЧИВЫМ
ПО ЛЯПУНОВУ, если:
(начальное значение которого удовлетворяется
неравенству
)
выполняется неравенство:
Т.е. близкие по начальным условиям
решения остаются близкими для
.
Если
и
хотя бы одного
неравенство не выполняется, то решение
называется НЕУСТОЙЧИВЫМ.
А если к первому условию устойчивости добавить:
,
то такое решение называется АСИМПТОТИЧЕСКИ УСТОЙЧИВЫМ.
* Тривиальное решение называется
устойчивым по Ляпунову, если
такое, что при
для всех
справедливо неравенство
.
Пример:
Исследовать на устойчивость решение
,
системы:
Сведём эту задачу к задаче исследования
на устойчивость тривиального решения,
полагая, что
.
Имеем:
и
Матрица этой системы имеет вид:
и её характеристические числа
.
Таким образом, решение
,
системы асимптотически устойчиво.
Дайте определение неустойчивого решения. Пример.
Дана система уравнения: И начальные условия: Если мы поменяем начальное условие, то как изменится решение?
1). Устойчивое решение – практически не изменится.
2). Неустойчивое решение – сильно изменится.
Определение: решение данной выше системы называется УСТОЙЧИВЫМ ПО ЛЯПУНОВУ, если: (начальное значение которого удовлетворяется неравенству ) выполняется неравенство: Т.е. близкие по начальным условиям решения остаются близкими для .
Если и хотя бы одного неравенство не выполняется, то решение называется НЕУСТОЙЧИВЫМ.
А если к первому условию устойчивости добавить:
,
то такое решение называется АСИМПТОТИЧЕСКИ УСТОЙЧИВЫМ.
Пример:
.
- такое решение будет неустойчивым.