Записать математические постановки задач Коши для нормальной системы линейных оду 1ого порядка и линейного оду -ого порядка.
Определение:
НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ (НС) линейных
дифференциальных уравнений называется
система вида:
где
- квадратная матрица
,
а
- заданная вектор-функция, определённые
при
Постановка задачи:
Задача Коши для нормальной системы ОДУ:
состоит в отыскании решения
,
удовлетворяющего начальным условиям:
Здесь
- верхние индексы – номера координат
вектора;
;
а вектор-функция
задана в области
-мерного
пространства переменных
.
Предположим, что выполнены два условия:
Условие 1: Пусть
,
т.е. существует постоянная
,
следовательно,
- равномерно ограничена в
.
Условие 2: Пусть
в любой замкнутой ограниченной подобласти
удовлетворяет условию Липшица по
переменной
,
т.е. существует постоянная Липшица
такая, что для всех
выполняется неравенство:
Лемма:
Пусть вектор-функция
удовлетворяется условию 1 и
.
Тогда решение задачи Коши для системы
эквивалентно решению интегрального
уравнения:
в классе непрерывных функций.
Теорема (существования и единственности решения задачи Коши):
Рассмотрим задачу Коши:
Функция задана в области плоскости , содержащей замкнутый прямоугольник Предположим, что выполнены следующие условия:
Условие 1: Пусть непрерывна в области и, следовательно, равномерно ограничена. Тогда сущ-ет постоянная , т.е. в .
Условие 2: Пусть удовлетворяет в УСЛОВИЮ ЛИПШИЦА по переменной , т.е. , где - постоянная Липшица. Итак, теорема: пусть выполнены условия 1 и 2. Тогда на отрезке существует единственное решение задачи Коши.
Лемма:
Пусть функция непрерывна по совокупности переменных в некотором прямоугольнике Тогда задача Коши эквивалентна интегральному уравнению:
Что такое фундаментальная матрица однородной системы линейных оду? Пример.
Рассмотрим систему линейных ДУ:
Система (1) называется ОДНОРОДНОЙ, если , в противном случае – НЕОДНОРОДНОЙ. Предположим, что и непрерывны на интервале . При этих условия на существует единственное решение системы (1), удовлетворяющее начальному условию:
Матричная запись.
В системе (1) обозначим через и столбцы:
А через обозначим -матрицу с элементами :
Тогда систему (1) можно записать в виде одного уравнения:
, и начальные условия:
Однородное уравнение:
Пусть имеется столбцов: Составим из них матрицу :
Сопоставим уравнению (2), правая и левая части которого – столбцы, аналогичное уравнение: , правая и левая части которого – матрицы размерности , и в котором неизвестной является матрица .
Теорема:
Пусть есть решений уравнения (2). Тогда -матрица , образованная из них, является решением матричного уравнения (3). И наоборот.
Определение:
Решение уравнения (3), для которого определитель Вронского (см. вопрос 16) отличен от нуля всюду на , называется ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ МАТРИЦЕЙ.
Теорема:
Линейная однородная система уравнений имеет фундаментальную матрицу.
Теорема:
Если - фундаментальная матрица, то любое решение уравнения (2) представимо в виде: , где - некоторый постоянный столбец.
Пример:
Даны две вектор-функции:
и
Определитель Вронского этих функций:
,
следовательно, эти функции линейно-независимы
на всей прямой
.
Т.к. они ЛНЗ, они образуют ФСР некоторой
линейной однородной системы ДУ с двумя
неизвестными. Найдём эту систему
уравнений. Образуем матрицу
- фундаментальную матрицу искомой
системы, столбцами которой являются
данные функции:
Эта матрица есть решение матричного
уравнения
,
где
- матрица искомой системы уравнений
.
Для
нашей матрицы имеем:
,
,
