Какому интегральному уравнению равносильна задача Коши для оду первого порядка? Пример.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ (ДУ) называют уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной или дифференциала.
ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ РАВНЕНИЕМ (ОДУ) называется уравнение, если неизвестная функция зависит от одной переменной.
Теорема (существования и единственности решения задачи Коши):
Рассмотрим задачу Коши:
Функция
задана в области
плоскости
,
содержащей замкнутый прямоугольник
Предположим, что выполнены следующие
условия:
Условие 1: Пусть
непрерывна в области
и, следовательно, равномерно ограничена.
Тогда сущ-ет постоянная
,
т.е.
в
.
Условие 2: Пусть
удовлетворяет в
УСЛОВИЮ ЛИПШИЦА по переменной
,
т.е.
,
где
- постоянная Липшица. Итак, теорема:
пусть выполнены условия 1 и 2. Тогда на
отрезке
существует единственное решение задачи
Коши.
Лемма:
Пусть функция непрерывна по совокупности переменных в некотором прямоугольнике Тогда задача Коши эквивалентна интегральному уравнению:
Пример: рассмотрим задачу Коши:
Найдём её точное решение:
- общее решение данного ДУ. Используя
начальное условие
,
получим
.
Поэтому
- решение задачи Коши.
Получим решение рассматриваемой задачи,
используя метод последовательных
приближений. Определим итерационный
процесс:
,
.
В качестве нулевого приближения возьмём
.
На каждой итерации задача разрешима
при
и её решение имеет вид:
Проделаем несколько первых итераций:
и т.д.
Что такое характеристическое уравнение линейного однородного оду -ого порядка? Пример.
Линейным дифференциальным уравнением -ого порядка называется уравнение вида:
Если
,
такое уравнение называется ОДНОРОДНЫМ,
в противном случае – НЕОДНОРОДНЫМ.
Ознакомимся с основными свойствами
линейного уравнения на примере уравнения
маятника:
,
которое является линейным уравнением
второго порядка с постоянными
коэффициентами. Однородное уравнение
маятника выглядит так:
.
Будем искать решение этого уравнения
в виде
,
где
- некоторая неизвестная заранее
постоянная. Подставляя искомый вид
решения в (1) и сокращая на
,
получим:
.
Это уравнение называется ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ дифференциального уравнения (1). Ему должно удовлетворять для того, чтобы
было решением этого уравнения. Решая хар-кое уравнение, получим:
Рассмотрим разные случаи.
1). Все - вещественные и различные. Тогда общее решение:
2). Комплексные корни:
,
а все остальные
- вещественные и различные. Тогда:
3). Вещественные, но кратные:
- различные. Тогда:
4). Комплексные и кратные:
Кратность
вещественных корней не превышает
,
кратность комплексных корней не превышает
Пример:
