Алгоритм построения решения задачи Коши для линейной однородной системы оду с помощью матрицы Коши. Пример.
Рассмотрим систему линейных ДУ:
Система (1) называется ОДНОРОДНОЙ, если
,
в противном случае – НЕОДНОРОДНОЙ.
Предположим, что
и
непрерывны на интервале
.
При этих условия на
существует единственное решение системы
(1), удовлетворяющее начальному условию:
Матричная запись.
В системе (1) обозначим через
и
столбцы:
А через
обозначим
-матрицу
с элементами
:
Тогда систему (1) можно записать в виде одного уравнения:
,
и начальные условия:
Однородное уравнение:
Пусть имеется
столбцов:
Составим из них матрицу
:
Сопоставим уравнению (2), правая и левая
части которого – столбцы, аналогичное
уравнение:
,
правая и левая части которого – матрицы
размерности
,
и в котором неизвестной является матрица
.
Теорема:
Пусть
есть
решений уравнения (2). Тогда
-матрица
,
образованная из них, является решением
матричного уравнения (3). И наоборот.
Определение:
Решение уравнения (3), для которого определитель Вронского (см. вопрос 16) отличен от нуля всюду на , называется ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ МАТРИЦЕЙ.
Теорема:
Линейная однородная система уравнений имеет фундаментальную матрицу.
Теорема:
Если - фундаментальная матрица, то любое решение уравнения (2) представимо в виде: , где - некоторый постоянный столбец.
Построим решение уравнения (2), удовлетворяющее начальным условиям, выразив с помощью величину через :
,
откуда
и, следовательно,
.
Матрицу
,
являющуюся функцией двух переменных,
назовём ИМПУЛЬСНОЙ МАТРИЦЕЙ.
Теорема:
Решение задачи (2) с начальными условиями, имеет вид:
,
где матрица
удовлетворяет по аргументу
матричному уравнению (3) и условию
Пример: дана система:
найдём матрицу Коши этой системы.
Общее решение:
=>
Алгоритм построения решения задачи Коши для линейной неоднородной системы оду с помощью матрицы Коши. Пример.
Рассмотрим неоднородное уравнение:
Теорема:
Если - фундаментальная матрица, а - частное решение неоднородного уравнения (1), то любое решение уравнения (1) представимо в виде:
, где - некоторый постоянный столбец.
Теорема:
Частное решение уравнения (1), удовлетворяющее условию , имеет вид:
,
где
- ИМПУЛЬСНАЯ МАТРИЦА, решение матричного
уравнения
,
удовлетворяющее условию
Пример:
Решить систему:
или
,
где
,
и
.
ФСР однородной системы, соответствующе
данной, образуют, например, вектор-функции:
и
Фундаментальная матрица имеет вид:
.
Если известна фундаментальная матрица однородной системы, то частное решение неоднородной системы находится по формуле , где - матрица Коши. Для нашей системы:
Частное решение данной системы,
удовлетворяющее нулевым условиям при
,
имеет вид:
