Лекция 9

Определение 1

Сумма вида называется интегральной суммой для функции z=f(x,y) по области D

Определение 2

Двойным интегралом от функции z=f(x,y) по области D называется предел её интегральной суммы при стремлении max из диаметров элементарной областей и окружностью. Если этот предел существует и конечен и не зависит от способа разбиения области D на элемент области и способа выбора точки

При этом пишут:

При это называют:

F(x,y) –подынтегральная функция

D-область интегрирования

Замечание: Для обозначения двойного интеграла на ряду с символом используется также и символ

Теорема 1(о существовании двойного интеграла)

Если функция z=f(x,y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл от этой функции по данной области существует.

Геометрический смысл двойного интеграла

1. Объём цилиндра с основанием двойного интеграла ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y)

V=

Замечание: Функция z=f(x,y) должна быть не отрицательна и непрерывна в области D

2. Площадь плоской области D

S=

Основные свойства двойного интеграла

1. Двойной интеграл от суммы (разности) 2-х функций равен сумме (разности) 2-х интегралов от этих функций

2)Const множитель можно выносить за знак двойного интеграла

где с-const

3)Если область интегрирования D разбита на 2 области D1 и D2, то

4)Если всюду в D f(x,y) , то

(при условии, что эти интегралы существуют)

Вычисление Двойного интеграла в декартовой системе координат

Различают 2 основных вида области интегрирования

1)Область интегрирования D ограничен слева и справа прямыми x=a, x=b (a<b), а снизу и сверху – непрерывными кривыми y= (x); y= , каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке. Для такой области ДИ вычисляется по формуле

, где сначала вычисляется внутренний интеграл, в котором x считается постоянным

2)Область интегрирование D ограничена снизу и сверху прямыми y=c, y=d (c<d) А слева и справа непрерывными кривыми x= (y), x= (y) , каждая из которых пересекается с горизонтальной прямой только в одной точке. Для такой области Ди вычисляется по формуле

, где сначала вычисляется внутренний интеграл, в котором y считается постоянной

Замечание: В более общем случаи область интегрирования путём разбиения на части сводится к основным областям

Определение 3

Правая часть формул (1) и (2) называются двукратными или повторными интегралами.

Лекция 10

Дифференциальным уравнением (ДУ) наз. уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и ее производные (или дифференциалы).

Если независимая переменная одна, то уравнение наз. обыкновенным, а если независимых переменных две или больше, то уравнение наз. ДУ в частных производных.

Порядком ДУ наз. порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Решением ДУ наз. любая функция, которая при постановке в уравнение обращает его в тождество.

График решения ДУ наз. интегральной кривой.

Общий вид ДУ первого порядка F(x, y, y')=0.

Если ДУ F(x, y, y')=0 можно разрешить относительно y', то оно принимает вид y'=f(x, y) и наз. ДУ первого порядка, разрешенным относительно производной.

Общим решением ДУ первого порядка наз. решение этого уравнения, содержащее одну произвольную постоянную С, т.е. имеющие вид y= ϕ(x, C)

Замечание!: если общее решение получается в неявной форме (x, y, C)=0 или Ψ(x, y)=C, то оно наз. общим интегралом.

Решить или проинтегрировать данное ДУ значит найти его общее решение в той или иной форме.

Частным решением ДУ наз. решение, которое получается из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной С.

Замечание: встречаются ДУ, имеющие такие решения, которые не получаются из общего ни при каком значении постоянной С (так называемые особые решения)

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y'=f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y( )= , где , -заданные числа, наз. задачей Коши.

Замечание: геометрически задача Коши означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку.

Т1 (о существовании и единственности решения задачи Коши)

Пусть в прямоугольнике D={(x, y) ∈ | |x- |≤a; |y- |≤b} функция f(x, y) и ее частная производная (x, y) непрерывны. Тогда на некотором отрезке [ -d, +d] существует единственное решение уравнения y'=f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y( )= .

Замечание: геометрический смысл данной теоремы состоит в том, что через точку ( , )-центр прямоугольника, проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения y'=f(x, y).

Уравнение вида ϕ(y)dy=f(x)dx наз. ДУ с разделенными переменными.

Замечание: в этом уравнении при дифференциале dx находится функция только от x, а при дифференциале dy находится функция только от y.

Метод решения ДУ с разделенными переменными заключается в непосредственном интегрировании обеих частей этого уравнения. Отсюда следует, что общий интеграл уравнения ϕ(y)dy=f(x)dx имеет вид ∫ϕ(y)dy=∫f(x)dx+С, где С - произвольная постоянная.

Уравнение вида y'=f(x)ϕ(y) наз. ДУ с разделяющимися переменными.

Замечание!: ДУ с разделяющимися переменными может быть записано также и в виде (x) (y)dx+ (x) (y)dy=0. При этом существенно, что коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x или только от y.

Метод решения ДУ с разделяющимися переменными основан на преобразовании данного уравнения к уравнению с разделенными переменными. Это достигается путем разделения переменных, т.е. путем деления обеих частей уравнения на произведение (y) (x).

Замечание!: деление на (y) (x) может привести к потере частных решений, которые обращают в нуль (y) (x), поэтому эти случаи нужно проверить отдельно.

Лекция 11

Функция F(x, y) наз. однородной функцией степени n, если для всех λ справедливо тождество F(λx, λy) = F(x, y).

ДУ первого порядка наз. однородным, если оно может быть представлено в виде y'=f( )

Замечание!: однородное ДУ может быть записано также и в виде M(x, y)dx+N(x, y)dy=0, где функции M(x, y) и N(x, y) являются однородными функциями одинаковой степени однородности.

Метод решения однородного ДУ основан на замене переменной y по формуле y=ux, где u-новая искомая функция от x. В результате такой замены однородное ДУ преобразуется в ДУ с разделяющимися переменными.

Уравнение вида y' + P(x) y = f(x) наз. линейным ДУ первого порядка.

Замечание!: название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция y и ее производная y' входят в уравнение линейно, т.е. в первой степени.

Если f(x)≡0, то уравнение y' + P(x) y = f(x) наз. линейным однородным, в противном случае – линейным неоднородным.

Общее решение линейного однородного уравнения y' + P(x) y = 0 получается с помощью разделения переменных (т.к. данное уравнение является ДУ с разделяющимися переменными). Общее решение линейного неоднородного уравнения y' + P(x) y = f(x) можно найти исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения методом вариации произвольной постоянной (методом Лагранжа). Сущность этого метода состоит в том, что в общем решении y= ϕ(x, C) соответствующего однородного уравнения произвольная постоянная C заменяется на новую неизвестную функцию С(х), которая находится путем подстановки функции y= ϕ(x, C(х)) в уравнение y' + P(x) y = f(x).

Лекция 12

Уравнение вида y''+py'+qy=0, где p и q – некоторые действительные числа, наз. линейным однородным ДУ.

Комплексным числом наз. выражение вида z = a + ib, где а и b – действительные числа, i-мнимая единица, удовлетворяющая соотношению =-1. Комплексные числа возникают в частности в связи с задачей решения квадратного уравнения, дискриминант которого меньше нуля.

Метод решения линейного однородного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами основан на использовании так называемого характеристического уравнения.

Характеристическим уравнением для уравнения y''+py'+qy=0 наз. уравнение вида +pλ+q=0, где λ - неизвестное число.

Замечание: характеристическое уравнение получается из уравнения y''+py'+qy=0 путем замены в нем: y'' на , y' на λ, y на 1.

Т1!(общее решение линейного однородного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами) Пусть и - корни характеристического уравнения +pλ+q=0 соответствующего уравнения y''+py'+qy=0. Тогда общее решение уравнения y''+py'+qy=0 имеет вид:

Если корни и являются действительными и различными числами ≠ ), то = +

Если корни и являются действительными и равными числами ), то = ( + )

Если корни и являются комплексными числами ( = α + βi, = α − βi ), то = ( cosβx+ sinβx)

Здесь и - произвольные постоянные.

Уравнение вида y''+py'+qy=f(x), где p и q – некоторые действительные числа, f(x) – некоторая функция, наз. линейным неоднородным ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Метод решения уравнения y''+py'+qy=f(x) основан на следующей теореме:

Т2!( общее решение линейного неоднородного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами) Общее решение неоднородного уравнения y''+py'+qy=f(x) равно сумме общего решения соответствующего неоднородного уравнения и какого-либо частного решения данного неоднородного уравнения.

Замечание: для отыскания частного решения неоднородного уравнения y''+py'+qy=f(x) зачастую принимают метод подбора (метод неопределенных коэффициентов), суть которого состоит в том, что вид частного решения устанавливается по виду правой части уравнения и задача сводится к отысканию коэффициентов этого частного решения.

Рассмотрим различные виды правых частей уравнения y''+py'+qy=f(x), при которых возможно применять метод подбора.

Случай 1. Правая часть имеет вид f(x)= (x), где (x)-многочлен степени n. Тогда частное решение ӯ можно искать в виде ӯ= (x) , где r-число корней характеристического уравнения равных нулю, (x)-полный многочлен той же степени n, т.е. содержит все степени x от 0 до n.

Случай 2. Правая часть имеет вид f(x)= (x), где (x)-многочлен степени n, α-известное действительное число. Тогда частное решение ӯ следует искать в виде ӯ= (x) , где (x)-полный многочлен той же степени n, r-число корней характеристического уравнения равных α.

Случай 3. Правая часть имеет вид f(x)=acosβx+ bsinβx, где a, b, β – известные действительные числа, тогда частное решение ӯ надо искать в виде ӯ=(Аcosβx+ Вsinβx) , где А,В – неизвестные коэффициенты, r-число корней характеристического уравнения равных β.

Случай 4. Общий вид правой части, при которой возможно применять метод подбора f(x)= [ (x)cosβx+ sinβx], где (x)-многочлен степени n, -многочлен степени m, α и β – известные действительные числа. Тогда частное решение ӯ следует искать в виде ӯ= [ (x)cosβx+ sinβx] , где r-число корней характеристического уравнения равных α+ β, (x) и -полные многочлены степени s, s=max{n,m}.

Замечание: Если y''+py'+qy= (x)+ (x), то частное решение можно искать в виде ӯ= + , где -частное решение уравнения y''+py'+qy= (x), - частное решение уравнения y''+py'+qy= (x)