2. Случайные события, их вероятности. Основные свойства вероятностей.

Случ. экспериметн(S) – эксперимент, результат которого не может быть точно предсказан.

Случ.событие-это результат случ.эксперимента. Может произойти, так и не произойти (при сложении вер-тей). Рассмотрим множество Ω всех возможных взаимно исключающих друг друга исходов некоторого испытания - пространство элементарных исходов. Число эл-тов множества либо конечно, либо бесконечно. Случ. событие – это подмножество множ-ва Ω. Достоверное событие (U) – событие, которое в данных условиях обяхательно произойдет. Невозможное событие (V) – событие, к-е в данных условиях никогда не произойдет.

С каждым событием А связывается число р(А)-вероятность события, отражающее степень объективной возможности наступления этого события. Вероятность достоверного события равна 1, вер-ть невозможного события равна 0, для всех остальных соб.А: 0<p(A)<1.

Предмет Теорвера: изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Виды случ.событий. События наз-ют несовместными, если появления одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Несколько соб. Образуют полную группу, если в рез-те испытания появится хотя бы одно из них. Появления хотя бы одного из событий полной группы явл-ся достоверным. Если события, образующие полную группу, попарно несовместны,то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Равновозможные события-если ни одно из ни не является более возможным, чем другие. Элементарных исход-каждый из возможных результатов. Вероятностью события А наз-ют отношение числа благоприпятствующих этому событию эл. исходов к их общему всех равновозможных несовместных элементарных исходов,образующих полную группу. P(A)=m/n*(m-число благоприятств.ис, n- число возм.эл. исходов испытания). Исходы здесь несовместны, составляют полную группу, равновозможны.

Свойства вероятностей:

1. Вер-ть достоверного события = 1. Если оно достоверно, то каждый эл.исход благоприпятствует сбытию U. P(U)=Na\N=N\N=1.

2. Вер-ть возможного события =0. P(V)=0\N=0

3. Вер-ть случайного события есть положит. число, меньшее 1( 0<P(A)<1 ). Любая вер-ть любого события удовл.нерав. 0 P(A)<1

3. Правило сложения вероятностей. Вероятность в классической модели.

Правило сложения вероятностей: сумма двух событий А и В наз-ся событие (А+В) состоящее в наступлении хотя бы одного из соб. или обоих(2 выстрела из орудия, а- попадание при первом,в- при втором, а+в – попадание при первом, втором, или обоих выстрелах).Если А и В несовместные, А+В-событие, состоящее в появлении одного из них, безразлично какого. Сумма неск. событий - новое событие (А+В+С).

Док-во: Обозначим исходы, благоп. Для соб. А через а1,…am, a для соб В.-через b1,…,bn.Вероятности исходов через р1, …, рm, q1,…,qn. Тогда соб. (А+В) благоприпятствуют все исходы: а1,.., am, b1,..bn. В силу того, что соб. А и В несовместимы, среди этих исходов нет повторяющихся. Поэтому вер-ть события А+В равна сумме вер-тей этих исходов, т.е. р(А+В)=р1+р2+…+рn, но р1+…+рm=р(А),q1+…+qn=P(B),поэтому P(A+B)=P(A)+P(B),ч.т.д.(пример-стрелок стреляет в мишень). Следствие: Если А и В попарно несовместны, то вер-ть объединения этих событий равна сумме их вер-тей Р(А1+…+Аn)=P(A1)+…+P(An), Ai Aj =V

Теорема: связь м-ду вер-тями противоположных событий

P(A)=1-P(A).Для док-ва вспомним, что А А = U,P(U)=1, A A= ; Тогда по т.1 1=Р(U)=P(A A)=P(A)+P(A) , P(A)=1-P(A)

Теорема: p(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). ДОК-ВО: Соб. А состоит из компонент А В и А В, а соб. В-из компонент А В и А В. Тогда А В=(А В) (А В) (А В) (А В)=(А В) (А В) (А В)

И т.к. они попарно пересекаются, Р(А В)=Р(А В)+Р(А В)+Р(А В), с др. стороны

Р(А)=Р(А В)+Р(А В) и Р(В)=Р(А В)+Р(А В), а потому

Р(А)=Р(А В)+Р(А В) и Р(В)=Р(А В)+Р(А В), сл-но Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

СЛЕДСТВИЕ: 1)Р(А1+А2+…+Аn)= . При n=3 имеем: Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)-Р(АВС)

2) Р(А1+А2+…+Аn)=1-Р(А1А2…Аn)

УТВЕРЖДЕНИЕ: сумма вер-тей противоп. соб =1 P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1

ДОК-ВО: Пусть А1, А2,…, An образуют полную группу соб. Тогда данные соб. попарно несовместны и в сумме образуют достоверные события, т.е. АiАj= V(i не =j ),A1+A2+…+An=U

Сл-но Р(А1+А2+…+An)=P(U)=1. С др. стороны, т.к. А1,А2, …, Аn несовместные, то Р(А1+А2+Аn)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1.

Классическая модель: Пусть проводится эксперимент, который может закончиться одним из n равновозможных элементарных исходов. В этом эксперименте может наступить интересующее нас событие А. Те m элементарных исходов эксперимента, в к-х событие А наступает, наз-ют благоприпятствующим этому событию. Тогда по определению вер-ти P(A)=m/n* (см вопрос 2).