Вопрос 6

Метрический тензор представляет собой набор коэффициентов , привязанный к определенной системе координат. Если мы переходим к другой системе, то в общем случае будем иметь и другие коэффициенты метрического тензора, которые принято называть координатами. Координаты метрического тензора зависят от выбранной координатной системы и непосредственно выражаются через ее базисные векторы. Тем не менее метрический тензор, также как и вектор, отражает вполне определенную геометрическую реальность, поскольку его координаты в различных координатных системах связаны известным законом преобразования.

Найдем закон преобразования координат метрического тензора.

, следовательно,

и есть искомый закон преобразования координат метрического тензора в индексной и в матричной формах. Мы обвели этот закон рамочкой, поскольку в тензорной алгебре он играет принципиальную роль, а нам он встретился впервые. В дальнейшем мы сможем убедиться, что этот закон проявляется при изучении самых разнообразных объектов. Для начала следует обратить внимание на принципиальное сходство его с законом преобразования координат вектора:

Закон преобразования координат вектора	Закон преобразования координат метрического тензора

Вопрос 7

Базис системы координат может быть «прямой», т.е. по единичным векторам, касательным к линиям координат. При изменении системы координат векторы прямого базиса преобразуются ковариантно; обозначаются, например, b_α. Базис системы координат может быть «взаимный», т.е. по координатным гиперплоскостям, ортогональным к линиям координат, и определяться касательными векторами к данным гиперплоскостям. При изменении системы координат векторы взаимного базиса преобразуются противоположно по отношению к векторам прямого базиса, т.е. контравариантно; обозначаются, например, b^α. Прямой и взаимный базисы равноправны, произвольный вектор можно разложить по векторам любого из них. Значения компонент (проекций) вектора будут при этом различны. Любой вектор в простейшем случае косоугольных координат на плоскости имеет компоненты четырех типов, относящихся к прямому и взаимному базисам. Это контравариантные и ковариантные компоненты вектора в прямом базисе, а также ковариантные и контравариантные компоненты во взаимном базисе. Таким образом, геометрический объект можно представить (измерить) в различных системах координат контравариантными и ковариантными компонентами в прямом и взаимном базисах. Значения компонент для разных систем координат меняются, но объект остается прежний (пока с ним самим не происходит изменений). В геометрии такой подход называется пассивной точкой зрения на преобразование координат; на этом построен тензорный анализ. Линии координат имеют единичную размерность, ортогональные им гиперплоскости в n-мерном пространстве имеют размерность (n-1). Таким образом, прямой и взаимный базисы дополняют друг друга до полного пространства. Вообще говоря, можно представить себе в многомерном пространстве другие пары взаимных координат: 2-мерные элементы и (n-2)–мерные, 3-мерные элементы и (n-3)–мерные, и т.д. Совокупная размерность (геометрическая) каждой пары составляет полную размерность рассматриваемого n-мерного пространства.

Символ Кронекера (или дельта Кронекера) — индикатор равенства элементов, формально: функция двух целых переменных, которая равна 1, если они равны, и 0 в противном случае^[1].

Например, , но

В тензорном исчислении символ Кронекера обычно трактуется как тензор. В частности, могут использоваться различные написания для подчеркивания его принадлежности к определённому типу тензоров; соответственно дважды ковариантным, один раз ковариантным и один контравариантным и дважды контравариантным. При этом важно отметить, что обычная практика обозначать той же буквой тензор после поднятия или опускания индекса не распространяется на дельту Кронекера! Иначе говоря, в общем случае - не представляют один и тот же тензор (за исключением представления в ортонормированных базисах, что, собственно говоря, является признаком, выделяющим ортонормированные базисы из всех.