44.Подобие. Условия подобия. Числа подобия. Критерии подобия

Подобие. Определим моделирование в «узком смысле», а именно:

Моделирование — замена изучения интересующего нас явления изучением его модели (обыч­но — физической) уменьшенного или увеличенного масштаба в лабораторных условиях.

В большинстве случаев такое моделирование основано на воспроизведении подобных явле­ний. Причина в том, что наиболее удобным способом получения величин, характеризующих интересующий процесс явится получение их простым пересчетом из величин, полученных для сходственных точек модели процесса или системы в сходственные моменты времени.

Подобными называются два явления, если по заданным характеристикам одного можно по­лучить характеристики второго простым пересчетом, аналогичным перехода от одной системы единиц к другой ([17]).

Условия подобия явлений устанавливаются на основе теории размерностей и П-теоремы.

Используя факт подобия процессов в двух объектах класса, можно применить (физическую или математическую) модель как раз для предсказания характеристик моделируемого объекта (оригинала) с помощью характеристик моделирующей систе­мы (модели).

Процессы происходят во времени и в пространстве, вызываются внешними и вну­тренними условиями. Поэтому для построения подобной модели, очевидно, в первую очередь нужно обеспечить геометрическое подобие области пространства (в МЖГ — области течения), в которой задана исследуемая физическая система, для нестационарных процессов — подобие области четырехмерного пространства-времени. Далее, следует обеспечить одинаковую приро­ду физических явлений в модели и исследуемой системе (качественное подобие). Кроме того, необходимо обеспечить количественное подобие определяющих числовых параметров, так ска­зать, исходных данных, т. е., строго говоря, условий однозначности — начальных и граничных условий,

Можно, таким образом сформулировать условия подобия, т. е. условия, которые одновременно должны выполняться для того, чтобы процессы в двух системах были подобными в указанном выше смысле:

геометрическое подобие;

идентичность физических законов и подобие свойств тел, входящих в систему;

подобие величин (полей величин), определяющих условия на границах системы в про­странстве и во времени.

Числа подобия и критерии подобия.

Критерии подобия — числа подобия, составленные из величин, входящих в условия одно­значности.

Числа подобия — безразмерные комбинации размерных величин, которые в сходственных точках (x, y, z, t),подобных систем имеют одинаковые значения.

Многие числа подобия названы в честь ученых:

и др. (см. 8). Числа подобия, являющиеся отношениями величин одной физической природы, называются симплексами, например:

Совпадение значений некоторого критерия подобия у модели и у оригинала часто выражают записью вида и т. п.

Симплексы вида , часто служат для обозначения безразмерных координат

и времени, и служат для указания сходственных точек в подобных системах.

45.Подобие при течении жидкостей в пс и в трубах. Условия подобия при обтекании тел

Пример на применение подобия при течении жидкости в трубе. Пусть требуется определить паление давления на участке длиной м трубы квадратного сечения со стороной м, но которой протекает воздух с объемным расходом (подстрочный индекс используем дляобозначения характеристик натурального объекта).

Для моделирования течения предполагается использовать квадратную же трубу со сторо­ной , располагая два датчика давления на расстоянии , причем в качестве «рабочего тела» в данной модели предполагается использовать воду. Итак, предполагая, что стенки обеих труб гладкие, нужно определить потребный для обеспечения динамического по­добия объемный расход воды . Пусть свойства обоих «рабочих тел» приняты следующими:

воздух: ;

вода:

Итак, данная задача описывается следующими 5 (размерными) параметрами: ,

Размерности всех этих величин выражаются через 3 основные единицы СИ: [кг], [м], [с]. Нетрудно видеть, что параметров с независимыми размерностями в данной задаче три, для определенности пусть это будут следующие параметры:

Таким образом, размерности двух параметров задачи —

могут быть через них выражены, а значит (согласно той же П-теореме). можно образовать две безразмерные комбинации с участием двух упомянутых параметров. Получим обе комбинации, пользуясь формальным способом вывода.

Для "безразмерная" представим:

что приводит к следующим значениям показателей степени, а искомая

безразмерная комбинация принимает вид

Вторую безразмерную комбинацию получим, «обезразмеривая» :

что дает и вид второй комбинации (аналога числа ) — Комбинация , как мы теперь знаем, является критерием подобия для данной задачи, а

комбинация позволит нам определить константу, выражающую во сколько раз любая

разность давлений, измеренная на модели, отличается от таковой в объекте-оригинале.

Итак, для обеспечения подобия при течении должно выполняться равенство (или, как еще выражаются,), что позволяет нам определить потребное значение объемного расхода в модели:

А теперь используем равенство чтобы, измерив падение давления в

модели , предсказатьпадение давления в моделируемой трубе :

Постоянная 0,0027 — не что иное, как переводной масштаб для давления , для

модели с нашими параметрами.

Использование воды в качестве модели воздуха справедливо, коль скоро (при ничтожно малых числах _M в оригинальной системе) свойства воздуха вполне могут моделироваться свойствами несжимаемой, также «ньютоновской» жидкости. Это верно в тех случаях, когда отсутствует заметный подогрев, вследствие которого плотность может также изменяться. Но в данном случае задача такова, что как число _M , так и температурный фактор _Ө являются вырожденными и не должны приниматься в расчет.

Основные числа подобия в МЖГ.

начнем с чисел, исполь­зуемых как критерии подобия по режимам течения в задачах наружного или внутреннего обтекания твердых тел химически инертной средой

— критерий (или число) Эйлера (Еuler),

— критерий (или число) Маха (Масh),

_ критерий (или число) Рейнольдса (Reynolds)),

— «температурный фактор»,

— критерий (число) Струхала .

— критерий (число) Фруда

— кричерий (число) Грасгофа .

Следующие числа используются как определяемые параметры — как меры интегральных (также и локальных) процессов динамического и теплового взаимодействия потока с поверхно­стями тел:

— число Нуссельта ,

— коэффициент сопротивления,

— коэффициент потерь полного давления

Следующие числа характеризуют режимы и условия подобия в задачах обтекания твердых тел с нестационарными температурными полями в них, а первое — и собственно в задачах нестационарного распространения тепла в твердых телах:

— кричерий (число) Фурье ,

— критерий (число) Био ,

Следующие числа выражают безразмерными комбинациями свойств (жидкой или газообразной) текучей среды:

— отношение теплоемкостей,

— критерий (число) Прандтля

— критерий (число) Шмидта ,

— критерий (число) Кнудсена