Явная схема 1-го порядка (метод Эйлера)

Вычисляя интеграл в (23.4) по формуле левых прямоугольников получим: . Погрешность аппроксимации psi(h) и соответственно точность ε(h) имеют первый порядок в силу того, что формула левых прямоугольников на интервале имеет погрешность первого порядка, а схема устойчива.

Неявная схема 1-го порядка

Вычисляя интеграл по формуле правых прямоугольников получим . Эта схема явно не разрешена относительно , поэтому для получения требуется использовать итерационную процедуру решения уравнения. За начальное приближение можно взять значение из предыдущего узла. Обычно, если h выбрано удачно, достаточно сделать 2 – 3 итерации для достижения заданной погрешности . Эффективность неявной схемы заключается в том, что у нее константа устойчивости С0 значительно меньше, чем у явной схемы.

Неявная схема 2-го порядка

Вычисляя интеграл по формуле трапеций. Так как формула трапеций имеет второй порядок точности, то и погрешность метода имеет второй порядок. Схема явно не разрешена относительно, поэтому требуется итерационная процедура.Обычно, если h выбрано удачно, достаточно сделать 2 – 3 итерации для достижения заданной погрешности . Эффективность неявной схемы заключается в том, что у нее константа устойчивости С0 значительно меньше, чем у явной схемы.

Схема Рунге – Кутта 2-го порядка

Вычисляя интеграл по формуле средних прямоугольников. Уравнение разрешено явно, однако в правой части присутствует неизвестное значение в середине отрезка. Для решения этого уравнения используют следующий способ. Вначале по явной схеме рассчитывают предиктор. После этого рассчитывают корректор. В результате схема оказывается явной и имеет второй порядок.

Схема Рунге – Кутта 4-го порядка

Вычисляя интеграл по формуле Симпсона. Ввиду того, что формула Симпсона имеет четвертый порядок, погрешность метода тоже имеет четвертый порядок. Можно по-разному реализовать расчет неявного уравнения, однако наибольшее распространение получил следующий способ. Вычисляют предикторпо формулам, затем корректор.

Многошаговые схемы Адамса

При построении всех предыдущих схем для вычисления интеграла в правой частииспользовались лишь точки в диапазоне одного шага. Поэтому при реализации таких схем для вычисления следующего значения требуется знать только одно предыдущее значение. Такие схемы называют одношаговыми.Идея методов Адамса заключается в том, чтобы для повышения точности использовать уже вычисленные на предыдущих шагах значения в нескольких предыдущих узлах. После интегрирования на интервале [х_к__х, х_к] получим явную экстраполяци­онную схему Адамса. (Экстраполяцией называется получение значений ин­терполяционного многочлена в точках, выходящих за крайние узлы сетки).

Явная экстраполяционная схема Адамса 2-го порядка

Заменив подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Ньютона получим новую формулу. Схема двухшаговая, поэтому для начала расчетов необходимо, сделав один шаг, найти по методу Рунге – Кутта 2-го порядка , после чего вычислять оставшиеся значения.