1.4.4. Многоуровневые иерархические системы

Рассмотрим систему наведения зенитной управляемой ракеты (ЗУР) на цель (рис.22).

Источниками задающих воздействий для данной системы является:

• системы автосопровождения цели и ракеты по направлению (АСН);

• системы автосопровождения по дальности (АСД);

• системы автосопровождения по скорости (АСС).

Рис.22. Система наведения ракеты на цель

В свою очередь, надежную и качественную работу данных систем обеспечивают вспомогательные системы, такие, как:

• система автоматической регулировки усиления (АРУ) приемных устройств;

• системы автоподстройки частоты (АПЧ) и фазы (АПФ) передатчика и гетеродина приемника.

На более нижнем уровне иерархии находятся системы стабилизации частоты и амплитуды питающих напряжений всех устройств.

Очевидно, что качество функционирования любой из систем непосредственно влияет на качество работы систем, стоящих на более высоком уровне иерархии, и на точность работы всего комплекса систем.

Иначе говоря, система наведения ракеты на цель является многоуровневой иерархической системой автоматического управления.

1.5. Основные характеристики типовых звеньев и сау

1.5.1. Временные характеристики

Связь между выходным процессом и входными воздействиями во временной области записывается посредством временных характеристик.

Временной характеристикой называется реакция системы на типовое воздействие при нулевых начальных условиях. В качестве типовых воздействий используют единичный импульс и единичную функцию. На рис. 23. изображен прямоугольный импульс малой длительности   с амплитудой 1\  .

Рис. 23. Единичный импульс

Очевидно, что площадь такого импульса равна единице. Устремляя     0, в пределе будем иметь единичный импульс или дельта-функцию  (t). Она обладает следующими свойствами:

(11)

Реакция системы на единичный импульс при нулевых начальных условиях называетсяимпульсной характеристикой k_yx(t). Так как свойства стационарной системы с течением времени не меняются, то единичный импульс  (t- ), приложенный в момент времени t =  , вызовет реакцию k_yx(t-  ), аналогичную по форме, но сдвинутую по времени на интервал  (рис. 24).

Вследствие того, что система линейная, реакция на импульс ad (t -  ) будет равна ak_yx(t -  ), где а произвольная постоянная. Импульсная характеристика равна нулю до момента приложения воздействия

kyx(t - t ) = 0 при t < t .

(12)

Это равенство называется условием физической реализуемости. Покажем, как посредством импульсной характеристики определяется выходной процесс при произвольном воздействии.

Рис. 24. Импульсная характеристика

Пусть воздействие x(t) является некоторой функцией, показанной на рис. 25. Представим x(t) в виде суммы прямоугольных импульсов малой длительности  , следующих вплотную друг за другом.

Получающаяся при этом ступенчатая функция будет стремиться к точной функции x(t), если устремить  0. При достаточно малой величине   каждый из импульсов может приближенно рассматриваться как дельта-функция с площадью x(t _i)  . Реакция системы на этот импульс в момент t будет приблизительно равна x( _i)k_yx(t -  _i) , что показано на рис. 25.

Реакция от всех импульсов, лежащих в интервале от 0 до t, будет равна сумме реакций от каждого из импульсов в отдельности, то есть

Переходя к пределу при  0, N  , получаем точное выражение для выходного процесса в виде интеграла свертки

Рис. 25. Реакция системы на произвольное воздействие

Используя условие физической реализуемости (12), верхний предел интегрирования можно заменить на бесконечность и представить интеграл свертки в виде

kyx(t) = 0 при t < 0.

(13)

Обычно в этой форме интеграл и используется, а условие физической реализуемости дополнительно не оговаривается. Между импульсной характеристикой и передаточной функцией системы существует определенная зависимость. Чтобы найти ее, возьмем преобразование Лапласа от интеграла сверки (13). Так как в левой части

,

то изображение выходного процесса

.

Здесь мы правую часть искусственно домножили на

.

Поменяем порядок интегрирования и сгруппируем подынтегральные сомножители. В результате получим интеграл

.

Во внутреннем интеграле заменим переменную

и учтем условие физической реализуемости

при  . Тогда имеем следующее выражение:

В итоге изображение выходного процесса станет равным

где учтено, что внешний интеграл является изображением входного воздействия. В то же время мы знаем, что

y(p) = x(p)K_yx(p).

Из сравнения двух равенств вытекает, что

Таким образом, передаточная функция является преобразованием Лапласа от импульсной характеристики. Очевидно, что импульсная характеристика может быть получена по передаточной функции путем обратного преобразования

.

Переходной характеристикой h_yx(t) называется реакция системы при нулевых начальных условиях на единичную функцию

Форма функции h_yx(t) у стационарной системы не зависит от момента приложения воздействия и может иметь колебательный или монотонный характер (рис. 26).

С помощью переходной характеристики можно записать интегральное уравнение для выходной переменной, однако, эта формула в ТАУ широкого применения не получила.

В то же время сама функция h_yx(t) часто используется для суждения о качестве САУ ввиду того, что она наглядна и легко определяется экспериментально. В дальнейшем будет рассмотрена методика оценки качества по виду переходной характеристики.

Рис. 26. Переходная характеристика

Найдем связь между импульсной и переходной характеристиками, для чего воспользуемся интегралом свертки (1.13), положив в нем x(t) = 1(t):

.

Проводя замену переменной

,

получим формулу связи в виде

(14)

где учтено условие физической реализуемости (12.). Итак, переходная характеристика является интегралом от импульсной характеристики. Продифференцируем по времени обе части (14) и в итоге получим, что

.

(15)

Отсюда следует, что импульсная характеристика является производной по времени от переходной характеристики.

Уравнение (15) в операторной форме запишется в виде

,

откуда получаем связь между изображением h_yx(p) для переходной характеристики и передаточной функции системы

.

Используя обратное преобразование Лапласа, получим формулу для нахождения переходной характеристики по передаточной функции в виде

.

В теории автоматического управления наибольший интерес представляют переходные характеристики. Графики переходных характеристик наиболее часто встречающихся типовых звеньев приведены в табл.П. 1.

 

Пример.

Рассмотрим свойства двигателя постоянного тока с независимым возбуждением. Его схема изображена на рис. 27, где буквой Н показана нагрузка двигателя (редуктор, антенна, тахогенератор). Пусть j (t) – угол поворота вала двигателя, а  – угловая скорость вращения.

При управлении по якорной цепи задающим будет напряжение u(t) на якорной цепи, а напряжение возбуждения u_в поддерживается постоянным. Предположим, что инерционностью нагрузки и якоря двигателя можно пренебречь, так что скорость его вращения мгновенно устанавливается пропорциональной напряжению на якоре

,

(16)

где k – коэффициент преобразования двигателя, зависящий от его конструкции. По уравнению (16) находим передаточную функцию двигателя по скорости вращения

.

Мы видим, что передаточная функция безынерционного двигателя по скорости вращения соответствует усилительному звену.

Рис. 27. Схема двигателя постоянного тока

Теперь несколько видоизменим этот пример и будем интересоваться свойствами двигателя не относительно скорости, а относительно угла поворота вала j (t). Напомним, что

,

и используем это равенство в (16).

В итоге придем к уравнению двигателя, где выходной переменной будет угол поворота

.

(17)

Операторное уравнение для этого случая равно

pj (p) = ku(p),

а передаточная функция по углу поворота

.

(18)

Итак, безынерционный двигатель относительно угла поворота соответствует интегрирующему звену. Найдем его переходную и импульсную характеристики, для чего запишем интеграл уравнения (18) при нулевых начальных условиях

.

Полагая, что на вход поступает единичный перепад напряжения

u(t) = 1(t),

найдем переходную характеристику

.

Для нахождения импульсной характеристики воспользуемся соотношением:

.

Графики эти8х функций показаны на рис.28.

Рис. 28. Импульсная и переходная характеристики интегрирующего звена

 

Пример.

Теперь рассмотрим работу двигателя более подробно и усложним его

математическую модель. Учтем активное сопротивление якоря R и момент инерции нагрузкиI. Уравнение электрического равновесия якорной цепи можно записать в виде следующего дифференциального уравнения:

,

где i(t) – ток в цепи якоря; c_1W (t) – противоЭДС, пропорциональная скорости вращения W ; с₁– коэффициент, зависящий от конструкции двигателя.

Запишем уравнение равновесия механических моментов

,

где левая часть равна вращающему моменту, а правая – динамическому моменту нагрузки. Полученные уравнения в операторной форме равны

.

Из второго уравнения выразим функцию i(p) и подставим в первое, после чего получим, что

(19)

Обозначим

.

В результате передаточная функция двигателя по скорости вращения станет равной

,

что соответствует последовательно соединенным усилительному звену k и апериодическому 1/(1+pT). Найдем переходную и импульсную характеристики. Вначале по операторному уравнению (19) с учетом обозначений запишем дифференциальное уравнение двигателя

Это дифференциальное уравнение первого порядка. Его интеграл при нулевых начальных условиях

.

Полагая

u(t) = 1(t),

найдем переходную характеристику двигателя

.

Импульсная характеристика

.

Графики переходной и импульсной характеристик апериодического звена показаны на рис. 29.

Рис. 29. Импульсная и переходная характеристика апериодического звена

 

Пример.

Теперь учтем еще один фактор: индуктивность якоря L. Уравнение электрического равновесия якорной цепи усложнится и станет равным

,

а уравнение моментов останется прежним:

.

Эти уравнения в операторной форме имеют вид

.

Выражая из второго уравнения функцию i(p) и подставляя в первое, получим одно уравнение

(20)

Обозначая  ,

получаем передаточную функцию двигателя по скорости

.

В рассматриваемом случае двигатель эквивалентен последовательному соединению усилительного и колебательного звеньев. По операторному уравнению (20) запишем дифференциальное уравнение

.

Это дифференциальное уравнение второго порядка. На рис. 30. показаны графики переходной характеристики колебательного звена.

В отличие от предыдущих случаев переходная характеристика колебательного звена зависит от двух параметров: постоянной времени Т и коэффициента демпфирования  . Постоянная времени изменяет лишь масштаб функции вдоль оси времени, поэтому график на рис. 30построен в относительном времени t/T.

Коэффициент демпфирования существенно влияет на форму характеристики. При  < 1 переходная характеристика имеет колебательный характер, а при   >= 1 – монотонный. Чем меньше   , тем ярче выражены колебательные свойства.

Рис. 30. Переходная характеристика колебательного звена

В частном случае при  = 0 переходная характеристика становится незатухающей гармонической функцией и при этом передаточная функция равна

.

Звено такого типа называется консервативным, так как любое воздействие на его входе вызывает незатухающие гармонические колебания. Помимо описанных на практике используются и ряд других звеньев, называемых специальными. Одно из них называетсязапаздывающим. Уравнение этого звена

отражает наличие запаздывания сигнала на время t .

Взяв преобразование Лапласа с учетом операции запаздывания, получим передаточную функцию звена в виде

.

Как показали примеры, передаточные функции некоторых элементов САУ сразу выражаются через типовые звенья, поэтому передаточная функция всей системы также может быть записана через типовые звенья. Использование такой записи удобно при построениях частотных характеристик, особенно логарифмических. Для этого надо предварительно изучить частотные характеристики самих звеньев.