1.3.2. Передаточные функции
Возьмем преобразование Лапласа от обеих частей уравнения (2) с учетом нулевых начальных условий и известного правила
.
В итоге получим оперативное уравнение САУ
.
Решая его относительно изображения выходной переменной, получим
|
(6) |
Таким образом, использование преобразования Лапласа переводит дифференциальное уравнение во временной области в алгебраическое уравнение в области комплексной переменнойp, которое легко решается. В этом главное преимущество использования операторного метода.
Чтобы от изображенияy(p) перейти к оригиналуy(t), надо взять обратное преобразование Лапласа
.
Однако искать обратное преобразование от функции y(p) не всегда необходимо, так как ряд свойств функции y(t) можно найти непосредственно по ее изображению.
Функцию:
|
(7) |
назовем передаточной функцией системы по задающему воздействию.
Нижние индексы отражают те процессы, между которыми устанавливает соответствие данная передаточная функция. Полиномы числителя P(p) и знаменателя D(p) передаточной функции легко находятся по исходному дифференциальному уравнению (2). Из уравнения (7)следует, что передаточная функция является отношением изображений выходного процесса и входного при нулевых начальных условиях.
Передаточные функции могут определяться для различных воздействий в различных точках их приложения и по отношению к различным процессам внутри системы. Так, на рис. 12. показана система с несколькими воздействиями.
Для нее помимо передаточной функции по задающему воздействию
можно ввести и передаточные функции по возмущающим воздействиям, которые обозначим следующим образом:
Здесь нижние индексы говорят о том, что интересуются выходным процессомy(t) при различных возмущающих воздействияхvi(t).
В некоторых задачах приходится интересоваться не выходным процессом, а некоторыми переменными внутри системы, напримерyос(t), u(t) и др.(рис. 12). Передаточные функции можно определять и по отношению к
Рис. 12. Схема САУ с несколькими воздействиями этим переменным.
Так, можно, в частности, записать передаточные функции.
Нахождение этих передаточных функций требует знания ряда правил и соответствующего изображения схемы САУ.
1.3.3. Формы представления моделей
Выше указывалось, что для анализа систем автоматического управления и регулирования широко используется моделирование. Формы представления моделей САУ могут быть самыми различными. Среди них наиболее распространенными являются:
представление САУ с помощью дифференциальных или разностных уравнений;
представление в виде структурных схем с использованием передаточных функций и последующего разбиения на отдельные типовые динамические звенья;
представление в виде цифровых фильтров для последующего моделирования с помощью ПЭВМ;
представление в форме аналоговых моделей для последующей реализации с использованием операционных усилителей.