1.3. Математические модели сау. Формы представления моделей

1.3.1. Математическое описание сау

Гипотезы и аналоги, отражающие реальный, объективно существующий мир, должны обладать наглядностью или сводиться к удобным для исследования логическим схемам: такие логические схемы, упрощающие рассуждения и логические построения или позволяющие проводить эксперименты, уточняющие природу явлений, называются моделями. Другими словами, модель (лат. modulus – мера) – это объект – заместитель объекта – оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.

Для математического моделирования линейных непрерывных САУ используются дифференциальные уравнения.

В непрерывных системах как входные воздействия, так и выходные процессы являются непрерывными функциями. Связь между ними отображается посредством дифференциальных уравнений, имеющих следующий вид:

; ;  ,

(1)

 

гдеx(t) иy(t) – задающее воздействие и выходной процесс, а переменные   - их производные. Если функцииF₁ иF₂ – нелинейны относительно переменных, то системы будут нелинейными.

В линейных системахF₁ иF₂ – линейные функции. Если они явно зависят от времениt, то системы будут нестационарными. В случае стационарных систем явная зависимость функций  и  от времени отсутствует. Величина старшей производнойnпри выходной переменной в левой части уравнения называется порядком уравнения илипорядком системы.

Если стационарная система допускает линеаризацию своих уравнений, то она описывается линейным дифференциальным уравнением следующего вида:

(2)

где с иb – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров системы. Все переменные входят в это уравнение линейно, что обеспечивает системе применимость принципа суперпозиции.

Так, если , то выходной процесс , где каждой паре x_i(t) и y_i(t) соответствует уравнение (2).

Примером уравнения (2) является линеаризированное уравнение:

.

Если обозначить

то мы получим частный случай уравнения (2).

Анализ линейной стационарной системы сводится к нахождению функцииy(t) по заданному воздействиюx(t). Иначе говоря, анализ САУ требует нахождения решения уравнения (2). Из соответствующих разделов высшей математики известно, что решение уравнения (2) состоит из двух слагаемых:

,

гдеy_п(t) переходная составляющая решения или переходный процесс системы, который находится из решения однородного уравнения

(3)

при нулевых начальных условиях для самого процесса и его первых (n-1) производных.

Поясним смысл переходного процесса в САУ на примере следящей системы ФАП. Линеаризованное уравнение этой системы равно

(4)

где x(t) = j_x(t) – фаза входного воздействия генератора сигнала ГС, а y(t) = = j_y(t) – фаза выходного сигнала подстраиваемого генератора ПГ.

Пусть задающее воздействие x(t) = 0, а в момент включения системы при t = 0 выходная фазаy(t)   0.

Благодаря наличию начального рассогласования

система начинает работать, стремясь обеспечить значение фазы выходного

процесса y(t) = x(t) = 0. Это и будет переходный процессy _П(t).

Так как по условию воздействиеx(t) = 0, то уравнение (4) для переходного процесса примет вид

,

что является однородным уравнением для (4).

Его решение легко находится и имеет вид

.

Экспоненциальный характер переходного процесса показан на рис. 11.

Рис. 11. Переходный и вынужденный процессы в системе ФАП

Теперь займемся вынужденным процессомy_в(t). Он определяется только задающим воздействиемx(t) при нулевых начальных условиях в системе. Для нахожденияy_в(t) надо определить частное решение неоднородного уравнения

(5)

при нулевых начальных условиях и заданной функцииx(t).

Для рассмотрения системы ФАП уравнение вынужденного процесса примет вид

.

Для примера положим

Воспользовавшись выражением общего решения дифференциального уравнения первого порядка, можно записать, что

.

Отсюда легко получить вынужденный процесс ФАП, полагая

y(t) = 0; x(t) = a₀ + a₁t:

.

Характер этой зависимости показан на рис. 11. С течением времени при t выходной процесс будет стремиться к функции

,

то есть фаза выходного сигнала будет меньше фазы входного на величинуa₁/k_rk_фд и система слежения будет работать с некоторой ошибкой.

Важно подчеркнуть, что благодаря нулевым начальным условиям вынужденный процессy_в(t) начинается с нуля.

На основании принципа суперпозиции итоговый процесс в системе

y(t) = y_п(t) + y_в(t).

Таким образом, исследование линейных стационарных систем автоматического управления сводится к отдельному исследованию характеристик переходных и вынужденных процессов, методы определения которых, как правило, оказываются различными.