2.2.6. Статистический анализ точности

Приведем анализ точности автоматических систем при случайных воздействиях, когда ошибка управления e(t) будет случайным процессом. Ограничимся рассмотрением того случая, когда случайные составляющие воздействия являются стационарными случайными процессами, а система работает в установившемся режиме.

Если случайная ошибка управления

e(t) = m_e(t) + e(t),

то есть состоит из суммы математического ожидания и случайной составляющей, критерий среднего значения квадрата ошибки управления имеет вид

Q = m_e (t) + D_e,

где D_e - дисперсия стационарной случайной составляющей ошибки e(t).

Для оценки точности требуется найти математическое ожидание m_e(t) ошибки управления и дисперсию D_e.

Методика нахождения регулярной составляющей ошибки (ошибки от регулярного воздействия) рассматривалась ранее.

Рассмотрим методику вычисления дисперсии ошибки D_e. Известно уравнение связи между дисперсией и спектральной плотностью ошибки

Таким образом, чтобы найти дисперсию ошибки надо определить спектральную плотность и вычислить интеграл. Рассмотрим случай, когда все воздействия, поступающие на систему, статистически независимы друг от друга. Спектральная плотность ошибки равна сумме спектральных плотностей от каждого из воздействий, т.е.

S_e(w ) = S_ex(w ) + S_ev(w ).

Спектральная плотность ошибки от задающего воздействия

S_ex(w ) = S_x(w ) K_ex(jw ) K_ex(-jw ),

а от возмущающего воздействия

S_ev(w ) = S_v(w ) /K_ev(jw ) K_ev(-jw ).

Подставляя данные выражения в формулу для дисперсии ошибки, получим

D_e = D_ex + D_ev ,

то есть дисперсия ошибки при независимых воздействиях равна сумме дисперсии от каждого из воздействий в отдельности. Остается рассмотреть методику вычисления каждого слагаемого выражения. В качестве примера рассмотрим методику определения ошибки от задающего воздействия

Спектральную плотность воздействия мы представляли в виде произведения комплексно-сопряженных множителей

S_x(w ) = K_x(jw ) K_x(-jw ),

где K_x(jw ) - частотная характеристика формирующего фильтра.

Тогда дисперсия ошибки

Заменим переменную jw на p, а дифференциал dw =dp/j . После этого

интеграл примет следующий вид:

Данное выражение является интегралом Парсеваля от произведений функций K_x(p)K_ex(p).Таким образом, дисперсия ошибки управления может быть представлена в виде интеграла Парсеваля от произведения передаточной функции формирующего фильтра на передаточную функцию ошибки

D_ex = I [K_x(p) K_ex(p)].

Значение интеграла Парсеваля находится по табл. П.3, для чего произведение записывают в виде отношения полиномов.

Таким же способом определяются дисперсии ошибок от возмущающих воздействий

D_ev = I[K_v(p) K_ev(p)].

В частном случае, если воздействие будет белым шумом со спектральной плотностью N_v, вычисление дисперсии ошибки проводится по формуле

D_ev = N_v I [K_ev(p)].

На рис. 60 изображены: АЧХ замкнутой следящей системы A_yx(w ); квадрат этой функции  спектральная плотность возмущающего воздействия S_v(w ) и график произведенияА²_yx(w )S_v(w ) (т.к. частотная характеристика ошибки от возмущающего воздействия с обратным знаком совпадает с частотной характеристикой замкнутой системы).

Рис.60. Спектральная плотность ошибки от возмущающего воздействия

Дисперсия ошибки пропорциональна площади под кривой S_v(w )A²_yx(w ). При этом очевидно, что чем шире функция A_yx(w ), тем больше будет площадь и тем больше дисперсия ошибки. Иначе говоря, расширение полосы пропускания замкнутой следящей системы приводит к увеличению дисперсии ошибки от возмущающего воздействия. Амплитудно-частотная характеристика A_ex(w ) и квадрат этой функции показаны на рис.61.

Рис.61. Спектральная плотность ошибки от задающего воздействия

Спектр задающего воздействия S_x(w ) узкополосный, и его положение также показано на рисунке.

Чем шире полоса пропускания системы, тем в большем диапазоне функция A_ex(w ) будет близкой к нулю, тем меньше будет площадь под кривой S_x(w )A_ex(w ) и тем меньше будет дисперсия ошибки. Таким образом, ширина полосы пропускания системы различным образом влияет на величину дисперсии ошибок. Расширение полосы уменьшает дисперсию от задающего воздействия, но увеличивает от возмущающего воздействия, приложенного на входе.