2.2.5. Характеристики выходного случайного процесса. Стационарные формирующие фильтры

Предположим, что на вход стационарного линейного звена с импульсной характеристикой k(t) и частотной характеристикой

K(jw ) = K (t) e^{-jw t} dt

поступает случайное воздействие

x(t) = m_x (t) + x⁰ (t)

со стационарной случайной составляющей x⁰(t) и математическим ожиданием m_x (t).

Найдем характеристики выходного процесса y(t) в установившемся режиме.

Благодаря принципу суперпозиции выходной процесс будет равен сумме

y(t) = m_y (t) + y⁰ (t).

Рис. 57. Преобразование случайного воздействия

Математическое ожидание выходного процесса m_y(t), то есть его регулярная составляющая, будет определяться только математическим ожиданием входного воздействия m_x(t), а случайная составляющая y⁰(t) – только случайной составляющей x⁰(t). Способ нахождения выходного процесса при регулярном воздействии был нами уже рассмотрен в предыдущем подразделе, поэтому сосредоточим наше внимание на характеристиках преобразования случайной составляющей.

Пусть задана спектральная плотность S_{x( w )} входного воздействия. Запишем окончательное выражение для спектральной плотности выходного процесса

S_{y( w )} = S_{x ( w )} K(jw )K(-jw ).

Учитывая, что произведение комплексно-сопряженных множителей равно квадрату модуля частотной характеристики или квадрату амплитудно-частотной, получим окончательную формулу для спектральной плотности

Sy(w ) = Sx(w ) ½ K(jw ) ½ 2 = Sx (w ) A2 (w )

(31)

Таким образом, спектральная плотность выходного процесса определяется спектральной плотностью входного и частотной характеристикой звена.

Стационарное случайное воздействие x⁰(t) со спектральной плотностью S_x(w ) можно представить как результат преобразования белого шума  _x(t) с единичной спектральной плотностью

Nx = 1

звеном с частотной характеристикой K_ф (jw ) (рис.58). Такое звено называется формирующим фильтром. Найдем частотную характеристику этого фильтра. Для этого разложим функцию спектральной плотности на два комплексно сопряженных множителя

S_{x( w )} = K_x(jw ) K_x(-jw ).

Частотная характеристика формирующего фильтра равна прямому сомножителю этого разложения, то есть

K_ф (jw ) = R_x (jw ) .

Докажем это. Согласно формуле (31) спектральная плотность выходного процесса формирующего фильтра (рис.58) равна произведению

Nx K_ф (jw ) K_ф (- jw ) .

Так как

Nx = 1, а K_ф (jw ) = K_x(jw ),

то получим выходную спектральную плотность, равную произведению

K_x (jw ) K _{x ( -} jw ) = S_{x ( w ) ,}

что и доказывает правильность выбора.

Рис. 58. Стационарный формирующий фильтр

Итак, чтобы найти частотную характеристику формирующего фильтра надо разложить спектральную плотность на комплексно-сопряженные множители и выбрать

K_ф (jw ) = K_x (jw ).

Используя понятие формирующего фильтра, преобразование воздействия x⁰(t) со спектральной плотностью S_{x( w )} можно представить как преобразование белого шума  _{x (} t) с единичной спектральной плотностью последовательно соединенными формирующим фильтром и исходным звеном (рис.59).

Рис. 59. Преобразование воздействия с учетом формирующего фильтра

Такое представление упрощает процедуру вычислений.

Рассмотрим экспоненциальный случайный процесс со спектральной плотностью

Найдем частотную характеристику формирующего фильтра. Разложим спектральную плотность на комплексно-сопряженные множители:

Частотная характеристика формирующего фильтра равна прямому множителю этого разложения

Формирующий фильтр в этом примере соответствует усилительному звену с коэффициентом преобразования

и апериодическому звену с постоянной времени T = 1/a.