2.2.4. Системы управления при случайных воздействиях. Характеристики воздействий

На систему могут поступать как показные задающие воздействия, так и возмущающие, нарушающие нормальный ход управления. Воздействия могут быть неслучайными или случайными функциями времени.

Неслучайными, или регулярными, называются такие воздействия, закон изменения которых известен на всем интервале времени работы системы. Регулярные воздействия задаются функциями, например

X(t) = at; X(t) = bsinw t; u (t) = c e^-xt и т.д.,

где все параметры a, b, c, l, w и т.п. считаются известными.

Регулярный характер воздействий не часто встречается на практике, так как предсказать заранее изменения переменных, особенно возмущающих воздействий, обычно невозможно. Тем не менее анализ качества при некоторых регулярных воздействиях, которые можно считать наиболее “тяжелыми”, позволяет дать оценку качества управления в наихудшем случае. В частности, такую оценку проводят для воздействий

x (t) = 1 (t)

типа единичных функций, полагая, что скачкообразное изменение воздействия определяет наиболее тяжелый режим работы САУ. Как уже известно, реакция на единичный импульс порождает переходную характеристику, поэтому оценка качества по переходной характеристике часто используется на практике. Как правило, предсказать ход изменения воздействий заранее нельзя. Наиболее ярким примером в этом отношении являются возмущающие воздействия. Так, в радиолокационных следящих системах часть возмущающих воздействий обусловлена наличием приемного устройства; описать закон изменения этих воздействий с помощью регулярных функций совершенно невозможно. В таких случаях наиболее подходящим аппаратом для описания воздействий являются случайные процессы. Свойства этих процессов носят вероятностный, или статистический, характер и изучаются в теории случайных процессов.

Использование случайных процессов в качестве моделей воздействий значительно расширяет возможности исследования систем автоматического управления. Это объясняется не только тем, что сами процессы удается описать более точно, но и тем, что появляется возможность оценивать качество управления с помощью небольшого числа величин для весьма разнообразных условий работы. Поэтому в настоящее время статистические методы исследования САУ играют основную роль в теории автоматического управления.

В самом общем случае воздействия могут состоять из суммы регулярных и случайных составляющих. Рассмотрим характеристики подобных процессов на примере задающего воздействия x(t). Итак, пусть x(t) является случайным процессом. Простейшей характеристикой случайного процесса считается математическое ожидание или среднее значение

m_x(t) = <x (t) >.

Угловыми скобками здесь и далее обозначается операция нахождения математического ожидания (усреднения по множеству). Вычтем из исходного процесса его математическое ожидание и тогда получим случайную составляющую или центрированный случайный процесс

x⁰(t) = x (t) – m_x(t) .

Математическое ожидание – это регулярная составляющая процесса x(t), а все статистические свойства процесса определяются его случайной составляющей x⁰(t) . Простейшей характеристикой случайной составляющей служит дисперсия

D_x (t) = < [x⁰ (t)]² >.

При анализе стационарных систем будет рассматривать только стационарные случайные составляющие, у которых дисперсия D_x остается постоянной и от времени не зависит.

Величина, равная корню квадратного из дисперсии, называется среднеквадратическим (СКО) и обозначается

Размерность дисперсии равна квадрату размерности процесса x⁰ (t), а размерность СКО совпадает с размерностью процесса. Величина  _x служит усредненной мерой оценки амплитуды случайной составляющей. Для большинства случайных процессов вероятность превышения ими уровня 3 _x очень мала.

Рис. 54. Реализации случайных процессов

Дисперсия или СКО далеко не полностью определяют свойства случайной составляющей. Например, на риc. 54 а,б изображены реализации процессов с одинаковыми дисперсиями

D_x1 = D_x2 = D_x,

однако сразу видно, что свойства обоих процессов различны: скорость изменения первого процесса больше, чем второго. Для определения степени изменяемости случайного процесса вводят понятие корреляционной функции

R_x (t ) = < x⁰(t) x⁰ (t + t ) >

как среднего от произведения значений процесса в момент t и соседний с ним момент t + t(рис.54). Интервал t может быть положительным или отрицательным. Для стационарных случайных процессов, которые мы рассматриваем, корреляционная функция не зависит от выбора момента t, а является функцией только интервал t . Из рассмотрения рис. 54, а б понятно, что при одних и тех же t для “быстрых” процессов значение R_{x( t )} будет меньше, чем для “медленных”, потому что степень зависимости между x⁰(t) и x⁰ (t + t ) у “быстрых” процессов меньше. Таким образом, для рассматриваемого примера

R_x1 (t ) £ R_{x2 ( t )} .

В частном случае при

t = 0, R_x (0) = <[x⁰ (t)]² > = D_x,

то есть значение корреляционной функции при нулевом аргументе равно дисперсии. Для нашего примера получим, что R_x1 (0) = R_x2 (0) = D_x. Примеры корреляционных функций для “быстрых” и “медленных” процессов при одинаковом значении дисперсий показаны на рис. 55. Отметим несколько свойств корреляционных функций стационарных случайных процессов:

R_x(t ) = R_x (-t ) - свойство четности;

R_{x ( t )} <= R_x (0) – свойство невозрастания;

R_{x( t )}   0 при t   - асимптотические свойства.

Рис.55. Корреляционные функции

Дополнительно заметим, что R_{x( t )} может принимать и отрицательные значения.

Характеристику случайному процессу можно давать и в частотной области. Для этого используют понятие спектральной плотности S_x(w) . Она получается преобразованием Фурье от корреляционной функции:

Обратное преобразование от спектральной плотности дает выражение корреляционной функции:

Из этого выражения легко получается соотношение между дисперсией и спектральной плотностью

Спектральная плотность стационарных процессов обладает следующими свойствами:

S_{x( w )} >= 0 - свойство неотрицательности;

S_{x( w )} = S_x(-w ) - свойство четности;

S_x (w )  0 при w   - асимптотические свойства.

“Быстрые” случайные процессы имеют более широкую спектральную плотность, чем “медленные”. На риc. 56. показаны спектральные плотности для того примера, который рассматривался выше.

Рис. 56. Спектральные плотности

Заметим, что из условия равенства дисперсий

D_x1 = D_x2

вытекает равенство площадей

Перечисленные характеристики в дальнейшем используются при анализе качества управления.