2.1.1. Понятие устойчивости. Анализ устойчивости сау
Любая система автоматического управления прежде всего должна быть работоспособной, то есть обеспечивать поставленную цель управления. Так, в следящей системе выходной процесс должен как можно точнее повторить задающее воздействие х(t). Любое реальное воздействие, конечно, ограниченно по амплитуде, поэтому в работоспособной системе выходной процесс также ограничен. Если выходной процесс с течением времени неограниченно возрастает, то система называется неустойчивой, то есть неработоспособной.
Изучением условий, при которых система будет работоспособной, занимается теория устойчивости. На рис. 43, а показаны процессы в устойчивой следящей системе, а на рис.43, б– неустойчивой.
Рис. 43. Процессы в устойчивой (а) и неустойчивой (б) системах
Одной из особенностей линейных систем (как стационарных, так и нестационарных) является то, что условия устойчивости в них не зависят от воздействий. Так, например, если система устойчива при воздействии типа единичной функции, то можно утверждать, что она будет работоспособной и при любом другом воздействии.
Выходной процесс в стационарной системе состоит из двух слагаемых
y(t) = yв(t) + yn(t),
где yв(t) – вынужденный процесс, определяемый задающим воздействием x(t), yn(t) – переходный процесс за счет ненулевых начальных условий. В устойчивой системе переходный процесс с течением времени стремится к нулю, т.к. он не имеет информации о задающем воздействии x(t).
Так как характер воздействия не влияет на условия устойчивости, то их удобно оценивать по переходному процессу yп(t). В устойчивой системе с течением времени при что называется асимптотической устойчивостью, а в неустойчивой системе .
Задача теории устойчивости состоит в разработке методики, позволяющей по уравнению и передаточной функции системы определять условия устойчивости.
2.1.2. Алгебраический критерий устойчивости
Для определения устойчивости необходимо составить характеристическое уравнение D(p) и найти его корни. Составить его можно, воспользовавшись передаточной функцией САУ.
Для устойчивости линейной стационарной системы автоматического управления необходимо и достаточно, чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательными. Если, корни расположить на комплексной плоскости (рис.44), то геометрическая интерпретация необходимых и достаточных условий устойчивости будет следующей: система устойчива, когда все корни характеристического уравнения располагаются в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.
Рис. 44. Комплексная плоскость корней
Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости, то система неустойчива. Если корни располагаются на мнимой оси, то система находится на границе устойчивости и переходной процесс будет иметь постоянную амплитуду.
Общий вид характеристического уравнения
D(p) = C0 + C1(p) + … + CnPn,
где C0, C1 … Cn – коэффициенты, Pi – корни характеристического уравнения.
Например: Pi = a i, Pk = a k + jw k, Pk+1 = a k - jw k.
Полином D(p) является знаменателем передаточной функции.
Непосредственное нахождение корней характеристического уравнения доступно лишь для уравнений первого и второго порядка. При n > 2 решение или громоздко, или вообще в аналитической форме невозможно. В связи с этим возникает задача суждения об устойчивости косвенными методами, позволяющими оценить расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости без непосредственного их определения. Решают ее с помощью определенных правил, называемых критериями устойчивости.
Рассмотрим вариант алгебраического критерия устойчивости, доказанного немецким ученым Гурвицем в 1895 году.
Система будем устойчивой, если все коэффициенты C > 0 и одновременно выполняются неравенства, зависящие от коэффициентов C и порядка системы n. Для систем первого и второго порядков условия устойчивости соответствуют положительным значениям коэффициентов. При n > 4 выражение для условий устойчивости становится громоздким.
Пример. Пусть в следящей системе передаточная функция в разомкнутом состоянии, имеет вид:
Необходимо определить, при каком соотношении параметров системы
K, T1, T2 и T3 замкнутая система будет устойчивой. Для решения этой задачи запишем характеристическое уравнение замкнутой системы.
D(p) = P(p) + Q(p) = K + p (1+KT2) + p2 (T1+T2) + p3T3T1 = 0.
Для n = 3 получаем следующие условия устойчивости:
(T3 +T1) (1 +KT2) - KT1T3 > 0 или K[T1T3 – T2 (T1+T3)] < T1 + T3.
Отсюда имеем неравенства:
Если в полученных выражениях знак неравенства заменить, то можно построить линию границы устойчивости в плоскости параметров системы.
На рис. 45 для примера показана область устойчивости исследуемой системы в плоскости K иT2.
Рис. 45. Область устойчивости
Так как параметры системы неотрицательны, то практически область устойчивости соответствует части области показанной двойной штриховой.
Приведенный пример иллюстрирует одно из достоинств критерия Гурвица – возможность в аналитической форме связать условия устойчивости с параметрами системы и, следовательно, построить области устойчивости в плоскости этих параметров. К сожалению, подобная задача сравнительно легко решается при малых порядках характеристического уравнения. Кроме того, критерий не позволяет оценить местоположение корней на комплексной плоскости, что имеет большое значение для определения свойств системы. И наконец, критерием нельзя воспользоваться, когда нет аналитического выражения для характеристического уравнения, что делает невозможным непосредственное применение экспериментальных данных.