1.5.2. Частотные характеристики

Частотные характеристики устанавливают связь между спектрами входного процесса x(jw ) и выходного y(jw ). Спектром называется преобразование Фурье

где F – символ преобразования Фурье, а w - действительная переменная, являющаяся частотой гармонического сигнала.

Чтобы найти связь между спектрами, возьмем преобразование Фурье от уравнения (2) при нулевых начальных условиях.

С учетом того, что

,

получаем спектральное уравнение системы

c0y(jw ) + c1(jw )y(jw ) + … + cn(jw )ny(jw ) = = b0x(jw ) + b1(jw )x(jw ) + … + bm(jw )mx(jw ).

(21)

Приводя подобные члены и решая уравнение относительно выходного спектра, получаем формулу связи спектров в виде

.

Отношение полиномов

(22)

называется частотной характеристикой системы. Сравнивая выражение (7) для передаточной функции с выражением (1.22), делаем вывод о том, что частотные характеристики и передаточные функции получаются друг из друга путем замены комплексной переменной p на jw и обратно.

Частотные характеристики имеют наглядную физическую интерпретацию. В дальнейшем будем использовать три способа представления частотных характеристик.

При любом значении частоты w функция K_yx(jw ) будет комплексной. Обозначим модуль этой функции через

.

Тогда для частотной характеристики, как и для всякой комплексной функции, можно использовать следующее представление:

,

(23)

где модуль A_yx(w ) называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент j_yx(w ) – фазовой частотной характеристикой (ФЧХ). АЧХ и ФЧХ являются действительными функциями частоты и поэтому легко отображаются графически. При этом АЧХ определяет относительное изменение амплитуды гармонического воздействия

x(t) = cos w t

при его преобразовании системой, а ФЧХ определяет фазовый сдвиг выходного процесса относительно входного, так что выходной процесс можно записать в виде

.

Обе эти характеристики могут быть определены экспериментально достаточно простыми способами.

Для графического построения АЧХ и ФЧХ удобно пользоваться логарифмическими частотными характеристиками

.

Функция

L_yx(w ) = 20 lg A_yx(w ),

изображенная в полулогарифмическом масштабе, называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАХ), а функция j _yx(w ), построенная в том же масштабе, называется логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФХ). Полулогарифмическим называется такой масштаб, когда вдоль горизонтальной оси откладывают значения частоты w в логарифмическом масштабе (lgw ), а по вертикальной оси значения L_yx(w ) и j _yxw в линейном масштабе. Единицей измерения L_yx(w ) являются децибелы (дБ), а j _yx(w ) - радианы или градусы.

Например, если

A_yx(w ) = 10, то L_yx(w ) = 20 дБ.

Заметим, что при

A_yx(w ) = 1; L_yx(w ) = 0 дБ.

Если A_yx(w ) > 1, то L_yx(w ) > 0 дБ, если же A_yx(w ) < 1, то L_yx(w ) < 0 дБ.

Третьей формой представления частотных характеристик является их изображение на комплексной плоскости. Такие характеристики называются амплитудно-фазовыми (АФХ). Для этого представим комплексную функцию K_yx(w ) в виде суммы ее действительной и мнимой частей

K_yx(jw ) = R_yx(w ) + jI_yx(w ),

где R_yx(w ) = ReK_yx(jw ); I_yx(w ) = I_mK_yx(jw ).

Значения R_yx и I_yx откладываются вдоль координатных осей и функция K_yx(jw ) изображается в виде вектора (рис. 31).

При изменении j от 0 до Ґ конец вектора описывает на плоскости некоторую кривую (годограф), которая и является АФХ.

Между АЧХ, ФЧХ и АФХ существует однозначная связь

;  .

Таким образом, АЧХ является модулем вектора АФК, а ФЧХ определяет значение ее аргумента. При построении АФХ на годографе стрелкой указывается направление увеличения w .

Рис. 31. Амплитудно-фазовая характеристика

Рассмотрим частотные характеристики усилительного, интегрирующего и идеального дифференцирующего звеньев. На основе передаточных функций можно получить следующие выражения для АЧХ и ФЧХ указанных звеньев

(24)

АЧХ этих звеньев в линейном масштабе изображены на рис. 32.

Рассмотрим их изображение в полулогарифмическом масштабе, когда частота w откладывается в логарифмическом масштабе lgw , а амплитуда в линейном масштабе в децибелах (дБ).

Рис. 32. АЧХ усилительного (1), интегрирующего (2) и идеального дифференцирующего (3) звеньев

Координатная сетка полулогарифмического масштаба приведена на рис. 33.

ЛАХ интегрирующего звена – прямая с отрицательным наклоном, которая пересекает ось 0 дБ в точке w _пер, где выполняется равенство

20 lg k – 20 lgw _пер = 0.

Отсюда получаем координаты точки пересечения w _пер = k.

Рис. 33. ЛАХ усилительного, интегрирующего и идеального дифференцирующего звеньев

Определим наклон этой линии, для чего вначале введем единицу измерения вдоль оси частот с логарифмическим масштабом. В качестве такой единицы обычно используют октаву или декаду.

Октавой называется расстояние между произвольной частотой w и ее удвоенным значением 2w . В логарифмическом масштабе эта величина при любом значении w будет постоянной:

октава = lg 2w - lg w = lg 2.

Декадой называется расстояние между точками w и 10w . Это тоже величина постоянная:

декада = lg 10w - lg w = lg 10 = 1.

Крутизна наклона прямой в полулогарифмическом масштабе может измеряться в децибелах на октаву или декаду (дБ/окт, дБ/дек). Найдем крутизну ЛАХ интегрирующего звена в этих единицах. Приращение ЛАХ интегрирующего звена D L на октаву или декаду будет равно

L_окт = L_и(2w ) – L_и(w ) = 20lg k – 20lg 2w - 20 lg k +

+ 20 lg w = -20 lg2 = - 6 дБ;

L_дек = L_и(10w ) - L_и(w ) = 20 lg k – 20 lg 10w - 20 lg k + 20 lg w =

= -20 lg 10 = - 20 дБ.

Таким образом, наклон прямой L_и(w ) интегрирующего звена равен –6 дБ/окт или –20 дБ/дек. Теперь обратимся к ЛАХ идеального дифференцирующего звена. Из уравнения для нее видно, что это будет прямая с положительным наклоном, равным +6 дБ/окт или +20 дБ/дек. Точка пересечения этой прямой с осью 0 дБ находится из условия

20 lg k + 20 lg w _пер = 0, откуда   .

Логарифмические амплитудные частотные характеристики трех указанных звеньев показаны на рис. 33. Логарифмические фазовые частотные характеристики, как следует из выражения (24), соответственно равны 0, -p \2, +p \2. Эти характеристики показаны на рис. 34.

Рис. 34. ЛФХ усилительного, интегрирующего и идеального дифференцирующего звеньев

Как мы увидим в дальнейшем, наклоны ЛАХ остальных типовых звеньев будут кратными величине 6 дБ/окт (20 дБ/дек). Поэтому наклон ± 6 дБ/окт в дальнейшем будем обозначать индексом ± 1.

Тогда наклоны: ± 12 дБ/окт = ± 2, ± 18 дБ/окт = ± 3 и т.д.

Рассмотрим частотные характеристики апериодического и дифференцирующего звена первого порядка. Выражения для АЧХ и ФЧХ этих звеньев будут иметь вид:

(25)

Форма АЧХ звеньев в линейном масштабе показана на рис. 35.

Логарифмические амплитудные характеристики равны:

(26)

Сразу отметим, что эти функции, как и ФЧХ из соотношений (25), отличаются только знаком, поэтому достаточно рассмотреть логарифмические характеристики только апериодического звена.

Рис. 35. АЧХ апериодического (1) и дифференцирующего (2) звена первого порядка

Аналитические выражения ЛЧХ апериодического звена сложнее, чем у предыдущих. Для приближенного построения ЛАХ удобно воспользоваться так называемым асимптотическими характеристиками. Рассмотрим область низких частот, где w T < < 1 или w < < 1/Т.

Для этой области из формулы (26) следует приближенное выражение для низкочастотной асимптоты

L_a(w ) = -20 lg 1 = 0 дБ.

В области высоких частот при w Т > > 1 или w > > 1/Т уравнение высокочастотной асимптоты

L_a(w ) = -20 lg w T = - 20 lg T – 20 lg w .

Из этого уравнения сразу следует, что высокочастотная асимптота ЛАХ будет прямой с наклоном –1, так как ее выражение пропорционально значению –lg w , как и у интегрирующего звена (рис. 36).

Рис. 36. Асимптотическая ЛАХ апериодического и дифференцирующего звена первого порядка

Найдем точку пересечения высокочастотной асимптоты с низкочастотной, равной 0 дБ. Она следует из равенства

-20 lg T – 20 lg w _пер = 0.

Отсюда находим точку пересечения

,

которая называется опорной частотой звена. Таким образом, построить асимптотическую ЛАХ апериодического звена достаточно просто: до опорной частоты 1\Т она идет вдоль оси 0 дБ, а затем по прямой с наклоном –1.

Оценим, насколько асимптотическая ЛАХ отличается от точной. До опорной частоты 1/Т эта разность равна

,

а после опорной частоты

.

Можно показать, что эта разность максимальна на опорной частоте и равна

.

Рис. 37. График поправок для ЛАХ апериодического звена

На рис. 37 показан график поправок D L(w ) для асимптотической ЛАХ апериодического звена, построенный в полулогарифмическом масштабе для относительных значений переменной w Т. После построения асимптотической ЛАХ этот график можно использовать для построения точной характеристики.

Подходящим образом упростить выражение для фазовой частотной характеристики апериодического звена

j _а(w ) = -arctg w T

не представляется возможным. Эта характеристика строится с помощью специальных таблиц или номограмм. Отметим, что ФЧХ изменяется в пределах от 0 до -p /2 и на опорной частоте

.

Логарифмическая фазовая частотная характеристика апериодического звена приведена нарис. 38. Логарифмические характеристики дифференцирующего звена первого порядка отличаются от рассмотренных только знаком и показаны на рис. 36 и рис. 38. Для уточнения асимптотической ЛАХ дифференцирующего звена можно пользоваться графиком на рис.37, но при этом знак поправки надо заменить на противоположный.

Перейдем к рассмотрению характеристик колебательного и дифференцирующего звена второго порядка. АЧХ и ФЧХ для этих звеньев равны:

 

Отсюда находим логарифмические амплитудные частотные характеристики

Рис. 38. ЛФХ апериодического и дифференцирующего звена первого порядка

Частотные характеристики этих звеньев зависят от двух параметров: постоянной времени Т и коэффициента демпфирования   . Так, АЧХ колебательного звена при  < 1 имеет резонансный, а при  >=1 – апериодический характер. На рис. 39 эти характеристики показаны в линейном масштабе.

Рис. 39. АЧХ колебательного звена

Уравнение низкочастотной асимптоты ЛАХ колебательного звена при w Т < < 1 имеет вид

L_к(w ) = -20 lg 1 = 0 дБ.

Высокочастотная асимптота при w Т > > 1 равна

L_к(w ) = -20 lg w ²T² = -40 lg T – 40 lg w .

Итак, низкочастотная асимптота колебательного звена идет вдоль оси 0 дБ, а высокочастотная является прямой с отрицательным наклоном. Так как она пропорциональна величине –40 lg w , то ее наклон равен –12 дБ/окт или просто –2. Точка пересечения асимптот находится из равенства откуда w _пер = 1/Т, то есть вновь является опорной частотой.

-40 lg T – 40 lg w _пер = 0,

Рис. 40. Асимптотическая ЛАХ колебательного звена

Асимптотическая ЛАХ колебательного звена показана на рис. 40. Эта функция не зависит от величины   и поэтому аппроксимирует точную характеристику достаточно грубо. График поправок для построения точной ЛАХ показан на рис. 41, где приводится семейство кривых при различных значениях  . Фазовая частотная характеристика колебательного звена изменяется в пределах от 0 до -  и на опорной частоте равна -  \2.

Рис. 41. График поправок для ЛАХ колебательного звена

Ход этой функции зависит от величины   (рис. 42). Для ее построения используются таблицы и номограммы. Характеристика дифференцирующего звена второго порядка отличается от только что рассмотренных лишь знаком.

Рис. 42. ЛФХ колебательного звена

В заключение рассмотрим частотные характеристики запаздывающего звена

K_з(jw ) = e^{-jw t} .

Отсюда видно, что его АЧХ и ФЧХ равны:

А_з(w ) = 1; j _з(w ) = -w t .

Таким образом, построение логарифмических частотных характеристик типовых звеньев (особенно асимптотических характеристик) – задача достаточно простая.