1. Гидростатика. Поверхностное натяжение жидкости

Гидростатическое давление p представляет собой напряжение сжатия в точке, расположенной внутри покоящейся жидкости:

,

где P – сила давления жидкости, приходящаяся на площадку F, содержащую рассматриваемую точку.

Величину гидростатического давления в любой точке неподвижной жидкости можно получить из уравнения Бернулли (1.3).

Интеграл в уравнении Бернулли для несжимаемой жидкости равен

.

Поскольку в неподвижной жидкости скорость, техническая работа и работа сил трения равны нулю, уравнение, связывающее давления в двух сечениях жидкости имеет вид

.

Очевидно, что если H = z₂ – z₁ – глубина расположения рассматриваемой точки, отсчитанная от поверхности с давлением p₁ (например, свободной поверхности жидкости), то гидростатическое давление на глубине H определяется по формуле

p₂ = p₁ + gH.

Сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению гидростатического давления p_c в центре тяжести смоченной площади стенки на площадь смоченной стенки F:

P = p_cF.

Положение центра давления (точки приложения равнодействующей сил давления) (рис. 1.1) определяется по формуле

,

где l_c и l_d – соответственно расстояния от центра тяжести стенки и центра давления до линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью; J_c – момент инерции смоченной площади стенки относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести этой площади.

Рис. 1.1

Сила давления жидкости на цилиндрическую или сферическую стенку складывается из горизонтальной P_г и вертикальной P_в составляющих:

.

Горизонтальная составляющая P_г равна силе давления жидкости на площадь F_в вертикальной проекции данной стенки:

P_г = p_cF_в.

Вертикальная составляющая P_в равна весу жидкости в объеме тела давления W:

P_в = gW.

Телом давления называется жидкость в объеме, ограниченном данной цилиндрической или сферической стенкой, свободной поверхностью жидкости и вертикальной поверхностью, проведенной по контуру стенки.

Направление силы P на стенку определяется углом , образуемым вектором P и горизонтальной плоскостью:

.

Вследствие поверхностного натяжения жидкость, имеющая криволинейную поверхность, испытывает дополнительное усилие, увеличивающее или уменьшающее давление в жидкости на величину

,

где  – поверхностное натяжение; r₁ и r₂ – главные радиусы кривизны рассматриваемого элемента поверхности.

Величина поверхностного натяжения жидкости находится по справочникам.

Давление при выпуклой поверхности жидкости увеличивается, а при вогнутой уменьшается.

Особенно сильно поверхностное натяжение проявляется в трубках весьма малого диаметра (капиллярах), для которых выражение для p_пов имеет вид

p_пов = 2/r,

где r – радиус трубки.

ПРИМЕР

Определить избыточное давление на дне океана, глубина которого равна H = 10 км, приняв плотность морской воды  = 1030 кг/м³ и считая ее несжимаемой.

Решение

В соответствии с уравнением сохранения энергии для неподвижной жидкости абсолютное давление жидкости на глубине H равно

p = p₀ + gH,

где p₀ – давление на поверхности океана.

Избыточное давление на дне океана равно

p = p – p₀ = gH = 10309,8110000 = 10110⁵ Па.

ЗАДАЧИ

Задача 1.1. Определить избыточное давление воды в трубе (рис. 1.2) по показаниям батарейного ртутного манометра. Отметки уровней ртути от оси трубы: H₁ = 1,75 м; H₂ = 3 м; H₃ = 1,5 м; H₄ = 2,5 м. Плотность ртути _рт = 13546 кг/м³, плотность воды _в = 1000 кг/м³.

Рис. 1.2

Задача 1.2. Нижняя часть рабочей камеры кессона находится на глубине H = 20 м. Определить избыточное давление воздуха, которое необходимо создать в рабочей камере кессона, чтобы вода из реки не могла проникнуть в камеру.

Задача 1.3. Определить давление в резервуаре p_р и высоту подъема уровня воды H₁ в трубке 1, если показания ртутного манометра H₂ = 0,15 м и H₃ = 0,8 м (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Задача 1.4. В U-образную трубку налиты вода и бензин (рис. 1.4). Определить плотность бензина, если H_б = 500 мм; H_в =  500 мм. Капиллярный эффект не учитывать.

Рис. 1.4

Задача 1.5. Определить давление пара в цилиндре поршневого насоса, необходимое для подачи воды на высоту Н = 58 м (рис. 1.5). Диаметры цилиндров: D = 0,3 м; d = 0,15 м.

Рис. 1.5

Задача 1.6. Определить давление газа в баллоне по показанию двужидкостного чашечного манометра H = 0,2 м, заполненного разными жидкостями плотностью ₁ = 1000 кг/м³ и ₂ = 1350 кг/м³, если задано отношение диаметров трубки и чашки прибора d/D = 0,2 (рис. 1.6). Атмосферное давление равно 0,1 МПа.

Рис. 1.6

Задача 1.7. Определить максимальную высоту Н, на которую можно подсасывать бензин поршневым насосом, если давление его насыщенных паров составляет p_нп = 200 мм рт. ст., а атмосферное давление равно 730 мм рт. ст. (рис. 1.7). Чему равна при этом сила вдоль штока P, если Н₀ = 1 м, D = 50 мм, а плотность бензина равна _б = 740 кг/м?

Рис. 1.7

Задача 1.8. Щит, перекрывающий канал, расположен под углом 45 к горизонту и закреплен шарнирно к опоре над водой (рис. 1.8). Определить силу P, которую необходимо приложить к тросу для открывания щита, если ширина щита b = 2 м, глубина воды перед щитом H₁ = 2,5 м, а после щита H₂ = 1,5 м. Шарнир расположен над высоким уровнем воды на расстоянии H₃ = 1 м. Весом щита и трением в шарнирах можно пренебречь.

Рис. 1.8

Задача 1.9. Определить силы, действующие на болты крышки бака, если показание манометра p_м = 2 МПа, а угол наклона крышки  = 45 (рис. 1.9). В сечении бак имеет форму квадрата со стороной a = 200 мм.

Рис. 1.9

З адача 1.10. Сосуд диаметром D = 1,2 м через трубку высотой H₂ = 2,3 м и диаметром d = 6 см, впаянную в крышку, заполнен турбинным маслом до высоты H₁ + H₂ (рис. 1.10). Определить силу, приходящуюся на один из шести болтов, удерживающих крышку сосуда. Плотность турбинного масла  = 0,89 г/см³. Рис. 1.10

Задача 1.11. Определить размеры основания подпорной стенки из условия ее устойчивости на сдвиг и опрокидывание, если максимальная глубина воды H = 4 м. Плотность кладки  = 2500 кг/м³. Коэффициент трения кладки по основанию f = 0,9. Сечение стенки считать прямоугольным (рис. 1.11).

Рис. 1.11

Задача 1.12. Секторный затвор перекрывает воду в канале высотой H = 2,4 м и шириной b = 3,2 м. Радиус дуги обшивки затвора R = 4,8 м. Определить силу суммарного давления воды на затвор и точку ее приложения (рис. 1.12).

Рис. 1.12

Задача 1.13. Построить эпюру избыточного гидростатического давления и определить силу суммарного давления и ее направление на цилиндрический затвор (рис. 1.13). Диаметр затвора d = 2,5 м, глубина воды H = 1,8 м, длина затвора L = 4 м.

Рис. 1.13

Задача 1.14. Определить силу суммарного давления на полусферические крышки, закрывающие отверстия диаметром d = 0,4 м, если глубина погружения центра резервуара H = 0,3 м, h = 2 м (рис. 1.14).

Рис. 1.14

Задача 1.15. Определить силу давления на вертикальную прямоугольную перегородку АБ закрытого бака высотой L и шириной B, по обе стороны которой различны как уровни одной и той же жидкости (H1 > H2), так и давления газа (p₁ > p₂) (рис. 1.15).

Рис. 1.15

Задача 1.16. Определить силы, разрывающие горизонтальную, наполненную бензином цистерну по сечениям 1-1 и 2-2 (рис. 1.16). Цистерна диаметром d = 2,4 м и длиной l = 10 м заполнена до верха горловины, высота которой H = 0,6 м. Плотность бензина  = 740 кг/м³.

Рис. 1.16

Задача 1.17. Определить давление внутри капли воды диаметром d = 0,001 м, которое создает силы поверхностного натяжения. Температура воды 20 C.

Задача 1.18. Определить высоту подъема воды в стеклянном капилляре диаметром d = 0,001 м при температуре воды 80 C.