17. Асимптоты графика функции, их виды и условия существования.
Асимптоты графика функции.
Самый простой вид зависимости одной переменной от другой - линейная зависимость, поэтому из всего множества функций выделяют функции, имеющие асимптоты, т.е. функции, графики которых при удалении точки от начала системы координат сколь угодно близко приближаются к некоторой прямой.
Опр.8.6.1. Прямая
называется
вертикальной асимптотой графика функции
,
если хотя бы один из односторонних
пределов
или
равен
или
.
Из этого определения следует, что прямая
может
быть вертикальной асимптотой графика
функции
только
в случае, когда точка
-
точка разрыва второго рода этой функции.
Опр.8.6.2. Прямая
называется
наклонной асимптотой графика функции
,
если функцию
можно
представить в виде
,
где
при
(или
,
или
).
Частным случаем наклонной асимптоты
является горизонтальная асимптота,
соответствующая случаю
.
Из определения наклонной асимптоты
следует, что прямая
будет
горизонтальной асимптотой графика
функции
,
если при
(или
,
или
)
функция
.
Г
рафик
функции может приближаться к своей
асимптоте, оставаясь
выше её ниже её колеблясь вокруг ее
Если условия определения наклонной (или горизонтальной) асимптоты выполняются при , будем называть эту асимптоту односторонней левой (или левосторонней, или просто левой); если эти условия выполняются при , будем называть асимптоту односторонней правой (или правосторонней, правой); в случае, если эти условия выполняются при , будем называть асимптоту двусторонней (или просто асимптотой, не уточняя направления).Условия существования наклонной (и, как следствие, горизонтальной) асимптоты даёт следующая теорема, которую мы сформулируем и докажем для случая (остальные случаи рассматриваются аналогично).
Теор.8.6.1. Для
того, чтобы прямая
была
наклонной асимптотой графика функции
при
,
необходимо и достаточно, чтобы существовали
пределы
.
Док-во.
Необходимость. Пусть прямая
-
наклонная асимптота графика функции
при
,
т.е., согласно определению,
,
где
при
.
Тогда
.
Переходим к пределу при
.
,
следовательно,
.
С другой стороны, в этом случае
,
и так как существует предел правой части
этого равенства, то существует и предел
левой части, и 
. Достаточность.
Пусть два указанных предела существуют,
тогда по теор.4.4.9 (о связи функции с её
пределом)
(
- БМ при
),
т.е. прямая
-
действительно наклонная асимптота
графика функции
при
.
18. Общая схема исследования функций и построения их графиков.
Исследование функции, построение графика
В этом разделе Вы найдете различные примеры на тему полного исследования функции для различных типов функций: экспонента, логарифм, корень, многочлен, дробно-рациональные функции.
Общая схема исследования функции и построения ее графика:
Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).
Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
Найти точки пересечения с осями координат
Установить, является ли функция чётной или нечётной.
Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).
Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
Найти наклонные асимптоты функции.
Построить график функции.