14. Экстремумы функции. Необходимое и достаточные условия.

Достаточные признаки экстремума функции.

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех достаточных признаков экстремума. Хотя самым распространенным и удобным является первый из них. Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна. Тогда

если при и при , то - точка максимума;

если при и при , то - точка минимума.

Другими словами

если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума;

если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума.

Алгоритм.

Находим область определения функции.

Находим производную функции на области определения.

Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (эти точки называют точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).

Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).

Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак.

Второй достаточный признак экстремума функции. Пусть ,

если , то - точка минимума;

если , то - точка максимума.

Как видите, этот признак требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .

Третий достаточный признак экстремума функции.

Пусть функция y = f(x) имеет производные до n-ого порядка в -окрестности точки и производные до n+1-ого порядка в самой точке . Пусть и .

Тогда,

если n – четное, то - точка перегиба;

если n – нечетное, то - точка экстремума.

Причем,

если , то - точка минимума;

если , то - точка максимума.

15. Наибольшее и наименьшее значения функции

С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования... Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X, который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком . В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y = f(x). Кратко остановимся на основных определениях. Наибольшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство . Наименьшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство . Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе . Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке [a; b].

Находим находим область определения ф-ии и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [a; b].

Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a; b]. Для этого, находим производную ф-ии, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.

Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если таковые имеются), а также при x = a и x = b.

Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале X.

Проверяем, является ли интервал X подмножеством области определения функции.

Определяем все стационарные точки, попадающие в промежуток X. Для этого приравниваем производную функции к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в интервал, то переходим к следующему пункту.

Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках. Дальнейшие действия зависят от интервала X. Если интервал X имеет вид:

[a; b), то вычисляем значение функции в точке x = a и односторонний предел ;

(a; b], то вычисляем значение функции в точке x = b и односторонний предел ;

(a; b), то вычисляем односторонние пределы ;

, то вычисляем значение функции в точке x = a и предел на плюс бесконечности ;

, то вычисляем односторонний предел и предел на плюс бесконечности ;

, то вычисляем значение функции в точке x = b и предел на минус бесконечности ;

, то вычисляем односторонний предел и предел на минус бесконечности ;

, то вычисляем пределы на плюс и минус бесконечности .

Делаем выводы, отталкиваясь от полученных значений функции и пределов. Здесь может быть масса вариантов. К примеру, если односторонний предел равен минус бесконечности (плюс бесконечности), то о наименьшем (наибольшем) значении функции ничего сказать нельзя для данного интервала.