6.Произ.Высших порядков.

П роизводная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у" Итак, у"=(у')'.

П роизводная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")'Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной  (n-1) порядка: y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1)) .Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (у^ν или у⁽⁵⁾— производная пятого порядка).Найти производную 13-го порядка функции у=sinx.Решение:

7 .Производные неявной ф-ии.

Пусть функция у=ƒ(х) задана неявно в виде уравнения F(x;y)=0.

Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно у', найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производую от неявной функции. В нее войдут х,у,у . Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй производной, выразим у" через х и у.

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.

 Найти у'", если х²+у²=1.Решение: Дифференцируем уравнение х²+у²-1=0 по х: 2х+2у у =0. Отсюда у'=-х/у. Далее имеем:

(так как х²+у²=1), следовательно,

8 .Производный от ф-ии заданной параметрически.

П усть функция у=ƒ(х) задана параметрическими уравнениями

Как известно, первая производная у'х находится по формуле (23.1)

Н айдем вторую производную от функции заданной параметрически. Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что

А налогично получаем

  Найти вторую производную функции

Р ешение: По формуле (23.1)

Т огда по формуле (23.2)

Заметим, что найти у"_хх можно по преобразованной формуле (23.2):

9 . Дифференциал функции, его свойства, геометрический смысл и приложение к приближенным вычислениям.

Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.

Т огда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать  у/ х=ƒ'(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х.Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ'(х)•∆х и а•∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так как а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:

Поэтому первое слагаемое ƒ'(х) ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):dy=ƒ'(х)•∆х. (24.1)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.Поэтому формулу (24.1) можно записать так:dy=ƒ'(х)dх,  (24.2) иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.Из формулы (24.2) следует равенство dy/dx=ƒ'(х). Теперь обозначениепроизводной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x²-sin(l+2x).Решение: По формуле dy=ƒ'(х) dx находим dy=(3х²-sin(l+2x))'dx=(6х-2cos(l+2х))dx.

Г еометрический смысл дифференциала функции.Выясним геометрический смысл дифференциала.Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке  АМ =∆х, |AM₁|=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ'(х). Поэтому АВ=ƒ'(х)•∆х.Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

П рименение дифференциала к приближенным вычислениямКак уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α•∆х. Отбрасывая бесконечно малую α•∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство ∆у≈dy,  (24.3)причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике.Найти приближенное значение приращения функции у=х³-2х+1 при х=2 и ∆х=0,001.Решение: Применяем формулу (24.3): ∆у≈dy=(х³-2х+1)'•∆х=(3х²-2)•∆х. Итак, ∆у 0,01.Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем ∆у:∆у=((х+∆х)³-2(х+∆х)+1)-(х³-2х+1)=х³+3х²•∆х+3х•(∆х)²+(∆х)³-2х-2•∆х+1-х³+2х-1=∆х(3х²+3х•∆х+(∆х)²-2);Абсолютная погрешность приближения равна|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.Подставляя в равенство (24.3) значения ∆у и dy, получим ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ'(х)∆х или ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ'(х)•∆х.  (24.4) Формула (24.4) используется для вычислений приближенных значений функций.Вычислить приближенно arctg(1,05).Решение: Рассмотрим функцию ƒ(х)=arctgx. По формуле (24.4) имеем:arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)'•∆х,т. е.

Так как х+∆х=1,05, то при х=1 и ∆х=0,05 получаем:

Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не превышает величины М•(∆х)², где М — наибольшее значение |ƒ"(х)| на сегменте [х;х+∆х].