53. Приближенные методы вычисления определенных интегралов.

Основой способов приближенного интегрирования является определение интеграла как предела интегральных сумм. Известно, что понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке [a,b] определена функция f(x). Интегральной суммой называется выражение:

Для приближенного вычисления интегралов чаще всего подынтегральную функцию заменяют «близкой» к ней вспомогательной функцией, интеграл от которой можно вычислить. За приближенное значение интеграла принимают значение интеграла от вспомогательной функции (например, площадь криволинейной трапеции заменяют площадью прямоугольника или прямолинейной трапеции, то есть вспомогательной является линейная функция).

1. Формула трапеций. Пусть требуется вычислить интеграл

, где f(x) - непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем,

когда f(x)³0. Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков точками a=x₀

<x₁<x₂<...<x_k-1<x_k

<...<x_n=b и с помощью прямых х=х_k построим n

прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы на рис. 1). Сумма площадей

трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е.

Где f(x_k-1) и f(x_k) - соответственно основания трапеций;

x_k - x_k-1 = (b-a)/n - их высоты.

Таким образом, получена приближенная формула

которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n.

Ф-ла Симпсона

Ф-ла прямоугольника сумма S является интегральной для функции f(x) на отрезке [a,b], поэтому приближенно равна интегралу: Таким образом, площадь криволинейной трапеции аппроксимируется (приближается) площадью ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников. Формула (1) называется формулой «правых» прямоугольников.Аналогично, рассматривая в качестве высоты каждого прямоугольника левую ординату, можно получить формулу «левых» прямоугольников:

Известно, что через три заданные точки, не лежащие на одной прямой, можно провести параболу единственным образом, поэтому отрезок интегрирования [a,b] надо разбить на n частей таким образом, чтобы полученные точки деления позволяли построить параболы. Очевидно, что число точек деления должно быть четным: n = 2m. Границами промежутков будут точки , а длина каждого промежутка равна . Пусть . Рассмотрим первые два промежутка деления. Функцию f(x) на отрезке заменим параболой, проходящей через точки . Будем искать уравнение параболы в виде многочлена второй степени.

. (5)

Неизвестные коэффициенты А, В, С найдем из условий . Подставим в формулу (5) значение , получим . Поскольку , то , откуда . Аналогично, при , получим и , а при найдем коэффициент . Заменив площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой, получим приближенную формулу: