50. Несобственные интегралы от бесконечных функций (|| рода).

Пусть   определена на  , терпит бесконечный разрыв в точке x=a и  . Тогда:

Если  , то используется обозначение   и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.

Если   или  , то обозначение сохраняется, а   называется расходящимся к  , или просто расходящимся.

Пусть   определена на   , терпит бесконечный разрыв при x=b и  . Тогда:

Если  , то используется обозначение   и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.

Если   или  , то обозначение сохраняется, а   называется расходящимся к  , или просто расходящимся.

Если функция   терпит разрыв во внутренней точке   отрезка  , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

51. Признаки сходимости несобственных интегралов.

Т.1 пусть в некотором интервале от а до бесконечности f(x) и ф(х)непрерывны и удовлетворяют неравенство 0≤ф(х)≤f(x) тогда

а) - сх-ся то и - сх-ся

б) - рас-ся то и -рас-ся

Т.2 пусть в некотором интервале от а до бесконечности f(x) и ф(х)непрерывны и удовлетворяют неравенство 0≤ф(х)≤f(x) а в точке x=b имеет разрыв тогда

а) - сх-ся то и - сх-ся

б) - рас-ся то и -рас-ся

52. Геометрические приложения определенных интегралов - площадь плоской фигуры,

объем тела по поперечным сечениям, объем тела вращения, длина дуги, площадь

поверхности вращения.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией f (x), осью абсцисс и прямыми x = a, x = b, определяется как  Площадь фигуры, ограниченной функцией f (x), пересекающей ось абсцисс, определяется формулой 

где x_i – нули функции. Другими словами, чтобы вычислить площадь этой фигуры, нужно разбить отрезок [a; b] нулями функции f (x) на части, проинтегрировать функцию f по каждому из получившихся промежутков знакопостоянства, сложить отдельно интегралы по отрезкам, на которых функция f принимает разные знаки, и вычесть из первого второе.

 Объем тела вращения. Пусть тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции,

ограниченной непрерывной на отрезке [a; b]функцией f (x). Его объем выражается формулой 

Пусть тело заключено между плоскостями x = a и x = b, а площадь его сечения плоскостью, проходящей через точку x, – непрерывная на отрезке [a; b] функция σ (x). Тогда его объем равен 

Длина дуги кривой.Пусть задана кривая   Тогда длина ее участка, ограниченного значениями t = α и t = β выражается формулой 

 Площадь поверхности вращения.Пусть поверхность задается вращением относительно оси OX графика функции y = f (x), a ≤ x ≤ b, и функция f имеет непрерывную производную на этом отрезке. Тогда площадь поверхности вращения определяется формулой