5. Тензор упругих напряжений. Связь с вязкостью.
Тензор напряжений — тензор второго ранга, состоящий из девяти величин, представляющих механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела. Эти девять величин записываются в виде таблицы, в которой по главной диагонали стоят нормальные напряжения в трёх взаимно перпендикулярных осях, а в остальных позициях — касательные напряжения, действующие на трёх взаимно перпендикулярных плоскостях.
Полный тензор механического напряжения элементарного объёма тела. Буквой σ обозначены нормальные механические напряжения, а касательные буквой τ.
Компоненты
тензора напряжений
в декартовой системе координат
(т.е.
)
вводят следующим образом. Рассматривают
бесконечно малый объём тела (сплошной
среды) в виде прямоугольного параллелепипеда,
грани которого ортогональны координатным
осям и имеют площади
.
На каждой грани
параллелепипеда действуют поверхностные
силы
.
Если обозначить проекции этих сил на
оси
как
,
то компонентами тензора напряжений
называют отношение проекций силы к
величине площади грани, на которой
действует эта сила:
По
индексу
здесь суммирования нет. Компоненты
,
,
,
обозначаемые также как
,
,
— это нормальные напряжения, они
представляют собой отношение проекции
силы
на нормаль к рассматриваемой грани
:
и
т.д.
Компоненты
,
,
,
обозначаемые также как
,
,
— это касательные напряжения, они
представляют собой отношение проекции
силы
на касательные направления к рассматриваемой
грани
:
и
т.д.
В случае линейной теории упругости тензор напряжений симметричен (так называемый закон парности касательных напряжений).
6. Ур-ния движения в интегральной и дифференциальной форме.
Применяя общий закон изменения количества движения к некоторой движущейся массе воздуха m, получим уравнение движения в интегральной форме
(1)
Здесь dm – элемент массы, равный .
При движении может меняться плотность воздуха и занимаемый элементом массы объём, но сама масса, очевидно, не изменяется.
Поэтому в левой части (1) можно произвести дифференцирование подинтегральной функции под знаком интеграла.
Последний интеграл в правой части (2) можно преобразовать по формуле Остроградского-Гаусса в объёмный и затем интеграл по массе
Подставляя полученное выражение в (2), находим, что для произвольного объёма справедливо равенство
(3).
Но тогда это равенство справедливо и для любого сколь угодно малого объёма.
Относя среднее значение подинтегральных функций для элементарного объёма сразу получаем
(4).
Уравнение (4) представляет собой векторное уравнение движения воздуха в дифференциальной форме. Заметим, что переход от соотношения в интегральной форме (3) к уравнению (4) возможен лишь при условии, что подинтегральные функции являются непрерывными. В тех случаях, когда движения интерпретируются разрывными функциями (напрмер, когда атмосферные фронты рассматриваются, как поверхности разрыва скорости и плотности), необходимо пользоваться уравнением движения в интегральной форме (1), (2) или (3).
Проектируя все слагаемые уравнения (4) на оси x, y, z и выделяя силу давления, получаем три дифференциальных уравнения:
Здесь u, v, w – составляющие скорости в направлениях x, y, z соответственно, остальные обозначения не требуют пояснений.