Некоторые классы интегрируемых функций.

Определение: Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве {X}, если для любого ε>0 найдется δ>0 такое, что для любой пары чисел x’, x’’ из множества {X}, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство (при этом δ=δ(ε) и не зависит от x)

Теорема 9: Непрерывная на сегменте [a, b] функция f(x) равномерно непрерывна на этом сегменте.

Следствие из теоремы 9: Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда (в соответствие с ё равномерной непрерывностью) для любого ε>0 можно найти δ>0 такое, что на любом частичном сегменте [c, d], сходящемся в [a, b] и имеющем длину меньшую δ, колебание ω функции будет меньше ε.

Теорема 10: Непрерывная на сегменте [a, b] функция f(x) интегрируема на этом сегменте.

Доказательство: Пусть дано произвольное ε>0. Тогда в соответствии со следствием из Т.9 для любого ε₁=ε/(b-a), найдется δ>0 такое, что на всех частичных сегментах разбиений T, длина которых меньше δ, колебание функции будет меньше ε₁. Оценим S-s: ( )

S-s<ε – необходимое и достаточное условие интегрир. выполняется.

Теорема 11: Ограниченная на сегменте [a, b] функция f(x), имеющая конечное число точек разрыва, интегрируема на этом сегменте.

Теорема 12: Ограниченная монотонная на сегменте [a, b] функция интегрируема на этом сегменте.

Доказательство: (проведем для неубывающей функции) Пусть выбрано произвольное ε>0. Зададим разбиение сегмента [a, b] на равные по длине частичные сегменты, длина которых меньше δ= ε/f(b)-f(a). Оценим S-s: , ( ), S-s<ε

Несобственный интеграл 1 рода: Определение: Пусть функция f(x) интегрируема на любом сегменте [a;b], тогда несобственным интегралом 1-го рода называется предел . Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел

Теорема 13 (Критерий Коши): Для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы для любого ε≥0 нашлось число A≥0, такое, что для любых R’ и R”, удовлетворяющих условию R’>A и R’’>A выполняется неравенство | |< ε

Теорема 14 (Общий признак сравнения): Пусть на множестве a≤x≤∞выполняется неравенство |f(x)|≤|g(x)|, тогда из сходимости интеграла следует сходимость интеграла

Теорема 15 (Частный признак сравнения): Пусть на множестве a≤x≤∞выполняется неравенство |f(x)|≤с/x^a и a>1. Тогда интеграл сходится. Если a<1 – интеграл расходится. Следствие: Пусть при x→∞ модулю ф-ии f(x) имеет порядок 1/x^a, т. е. f(x) 1/x^a. Тогда при a>1 интеграл сходится, а при a<1 – расходится.

Абсолютно и условно сходящийся интеграл: Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл . Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если он сходится, а расходится.

Теорема 16 (Признак Дирихле-Абеле): Пусть в несобственном интеграле функция f(x) имеет граничную первообразную F(x) на множестве [a; +∞), a ф-ия g(x) немонотонно не возрастая стремится к 0 при x→∞ и имеет непрерывную производную на мн-ве [a; +∞). Тогда несобственный интеграл сходится.

Замена перем-ой и интегрирование по частям для несобств. интегралов. Пусть выполняются следующие условия: 1)ф-ия f(x) непрерывна на полупрямой a≤x≤∞ 2) множество [a;∞) является множеством значений для некоторой ф-ии x=g(t) определенной мн-ве d≤t≤∞ ф-ия g(t) является строго монотонной и имеет производную. 3) g(d)=a. Тогда из сходимости одного из интегралов и следует сходимость другого и их равенство.

Пусть ф-ии U(x) и V(x) имеют непрерывные производные на мн-ве [a; +∞) Пусть кроме того произведение функций ограничено на этом мн-ве. Тогда из сходимости одного из интегралов и следует сходимость другого и выполняется равенство: =U(x)V(x)-

Несобственный интеграл 2 рода: Понятие несобственного интеграла 2 рода вводится если нарушается условие ограниченности ф-ии в области интегрирования. Т. е. функция имеет особые точки. Точка x=b называется особой точкой данной ф-ии, заданной на промежутке [a;b), если f(x) не ограничена на [a;b), и является ограниченной на любом сегменте [a;b-µ), содержащимся в [a;b). Несобственным интегралом 2 рода для ф-ии для ф-ии f(x) с особой точкой x=b называется предел

Теорема 17 (критерий Коши): Для сходимости несобственного интеграла 2 рода от ф-ии f(x) с особой точкой x=b, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε≥0 нашлось ð>0, такое, что для любой пары чисел µ’ и µ”, удовлетворяющих неравенству 0≤µ’≤µ’’≤ð выполнялось равенство: | |< ε

Возможность сведения несобственного интеграла 2 рода… Пусть ф-ия f(x) на [a;b)и x=b – особая точка. Пусть f(x) интегрируема на любом сегменте [a;b-µ), содержащимся в [a;b). Рассмотрим интеграл . Сделаем замену x=b-1\t Тогда dx=(1/t²)dt t= 1/(b-x) t₁=1/(b-a) t₂=1/µ. Получим: = ) По определению несобственного интеграла 2 рода это = – несбственный интеграл 1 рода.

Несобственный интеграл в в смысле главного значения Несобственным интегралом первого рода в смысле главного значения называется предел . Несобственным интегралом втрого рода в смысле главного значения от ф-ии f(x) с особой точкой x=с называется предел + }

Координатное и Евклидово пространство: Определение: Множество всевозможных упорядоченных совокупностей x1,x2,…,xm, составленных из вещественных чисел, называется m-мерным координатным пространством. Определение: Координатное пространство называется m-мерным Евклидовым пространством E^m, если для любой пары точек M’(x’₁,x’₂,…,x’_m) и M’’(x’’₁,x’’₂,…,x’’_m) можно ввести понятие расстояние ρ(M’,M’’) между этими точками, которое определяется формулой: ρ(M’,M’’)=