Замена переменной и интегрирование по частям для определенного интеграла.

1. Пусть выполняется следующие условия:

а) Функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [a, b].

б) Сегмент [a, b] является множеством значений некоторой функции x=g(t), которая определена и имеет непрерывную производную на сегменте [α, β].

в) g(α)=a, g(β)=b; Тогда справедлива следующая формула замены переменной в определенном интеграле:

2. Пусть функции u(x) и ν(x) определены и имеют производные на сегменте [a, b]. Тогда справедлива следующая формула интегрирования по частям:

Некоторые геометрические и физические приложения определенных интегралов. 1) Вычисление длин дуг некоторых кривых. Рассмотрим некоторую кривую (т.е. кривую на плоскости), заданную параметрически: x=x(t), y=y(t) и α≤t≤β.

Определение: Множество {M} точек М, координаты которой x, y заданы уравнениями x=x(t) ), y=y(t) (t [α, β]) называется простой плоской кривой, если различным значениям параметра t соответствуют различные точки множества {M}.

Простая плоская кривая не имеет точек самопересечения и участков самоналожения. Рассмотрим простую плоскую кривую L. Пусть Т некоторое произвольное разбиение сегмента [α, β]на частичные сегменты точками α=t₀<t₁<t₂<…<t_n= β

Полученная некоторая ломаная М₀М₁М₂…М_n-1M_n – называются вписанной в L ломанной. Длина 2-го участка ∆l равна: . Длина всей ломаной для данного Т разбиения равна:

Определение: Простая плоская кривая L заданная уравнениями x=x(t), y=y(t) (t [α, β]) называется спрямляемой, если множество {l(T_i)} длин вписанных в L ломаных для всевозможных T-разбиений является ограниченным. При этом точная верхняя грань l этого множества называется длиной кривой l.

Вычисление длин дуг кривых, заданных в Декартовой и полярной системах координат, а так же параметрически. Пусть функции x=x(t) , y=y(t) заданы и имеют непрерывные производные на сегменте [α, β]. Тогда кривая L, определяемая этими функциями является стремляемой и её длина вычисляется по формуле: , где x’, y’ – производные функций x(t), y(t).

Если кривая l задана в декартовой СК, то в качестве параметра t можно взять координату x. Тогда t=x, y=y(t)=y(x). В этом случае:

Если кривая l задана в полярной СК (ρ= ρ(φ)), то x= ρ(φ)cos(φ), y= ρ(φ)sin(φ):

dx= (ρ(φ)cos(φ))’dφ, dy= (ρ(φ )sin(φ))’dφ ,

Площадь плоских фигур, заданных в Декартовой и полярной системах координат, а так же параметрически. Для функции f(x) 0 на [a, b] площадь криволинейной трапеции равна: Если f(x) 0 на [a, b], то перед интегралом знак минус. Криволинейный сектор – это плоская фигура, ограниченная лучами φ=φ₁, φ=φ₂, кривой ρ=ρ(φ), заданной в полярной СК. . Параметрически: , t₀≤t≤t₀+T

Объёмы тел. Определенный интеграл можно использовать для вычисления объёмов только для тел, площадь сечения которых плоскостью x=const, (y=const, z=const) есть заданная функция переменной x (или y, z) т.е. S(x) – заданная функция. Частным случаем рассмотренной задачи является задача вычисления объёма тела вращения:

Нижние и верхние суммы Дарбу Разбиение отрезка [a;b] на n частичных отрезков точками a=x₀≤x₁≤x₂≤ x_n=b T-разбиение. Пусть [x_i-1;x_i] – произвольный i-ый частичный сегмент и пусть m_i и M_i соответственно верхние и нижние грани функции f(x) на этом сегменте. Суммы S= и s= называются верхней и нижней суммой функции f(x)для заданного T-разбиения. (суммы Дарбу)

Свойства сумм Дарбу: 1 свойство для любого фиксированного T-разбиения и любого ε>0 найдется набор промежуточных точек ξ_i [x_i-1; x_i] такой, что выполняться 0≤S-I(x_j; ξ_i)<ε 0≤I(x_j; ξ_i)-s<ε. Доказательство: рассмотрим j-ый частичный сегмент [x_i-1; x_i]. На этом сегменте функция f(x) имеет в качестве точной нижней и верхней грани числа m_i и M_i. В соответствие с определением точной верхней грани для любого ε₁=ε/b-a найдется хотя бы 1 значение ξ_i [x_i-1; x_i] такое, что выполняется 0≤ ε₁ . домножим эти неравенства на и проссумируем по i от 1 до n. 0≤ - <ε₁ получаем 0≤S-I(x_j; ξ_i)<ε Свойство 2 Пусть разбиение Т’ получается из разбиения Т добавлением конечного числа точек. Пусть далее s, S и s’, S’ соответственно верхние и нижние суммы для Т и T’. Тогда справедливы неравенства S≥S’ и s≤ s’ Доказательство: рассмотрим случай, когда к разбиению Т добавляется 1 точка чтобы (чтобы получить T’). Пусть эта точка x’ попадает на i-ый сегмент [x_i-1; x_i]. Следовательно [x_i-1; x’] и [x’; x_i] длиной соответственно и . Очевидно, что . Обозначим очные верхние и нижние грани на сегментах [x_i-1; x’] и [x’; x_i] соответственно через M’_i и M’’_i . рассмотрим разницу S-S’=M_i -[ M’_i + M”_i ]=(M_i-M’_i) +( M_i-M’’_i) ≥0 следовательно S-S’≥0 cл-но S≥S’ Cвойство 3 пусть T’ и Т" два разбиения сегмента s’’≤S’ и s’≤S” Док-во: Пусть T” получено из T’ добавлением точек. Тогда справедливо неравенство s’≤s”≤S”≤S’. Cвойство 4 множество верхних сумм {S} ограниченно снизу, а множество нижних сумм {s} ограниченно сверху. Док-во: из свойства 3 следует, что если выбрать фиксированное разбиение Т₀, то для всех S {S} выполняется S≥s₀ . 5 свойство Пусть T’ разбиение получается из T разбиения добавлением p точек. Тогда справедливо неравенство S-S’≤(M-m)p , s’-s≤(M-m)p , где =max x_i

Лемма Дарбу: Верхний I и нижний I интегралы Дарбу являются соответственно пределами верхних и нижних сумм при I= I=

Теорема 8: Для того, чтобы функция f(x) была интегрируема на сегменте [a;b] необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 нашлось разбиение Т такое, что выполняется S-s≤ε. Необходимость По определению функция f(x) считается интегрируемой на сегменте [a;b] если существует предел интегральных сумм I(x_i; ξ_i)при , не зависящей от выбора Т-разбиения и точек ξ_{i ­} на промежуточных сегментах. Т.е. это равносильно |I(x, )| при . Далее в неравенство со свой-вом 1 для любого разбиения Т можно выбрать точки и так что будет выполнятся неравенства: S-I(x, ) I(x, -S) оценим величину S-s. S-s=[S-( x, )][( x, )-S][(I- x, )][I( x, )-S]<E Достаточность Считается, что выполняется неравенство S-s≤ε. Надо доказать, что ф-ия f(x) интегрируема на [a;b]. Запишем цепочку неравентсв: s≤I≤I≤S → I-I≤ε →I=I слеодвательно I= I= пусть ε= ε/2>0, тогда сложим и должно выполняться S-s< ε. Далее для любой интегральной суммы выполняется неравенства s≤ ≤S отсюда следует что | -I|≤|S-s|<ε это означает что =I.