Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то

2) Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани правильные равные многоугольники и все двугранные углы равны. Тетраэдр(Огонь), Куб(Земля), Октаэдр(Воздух), Додекаэдр(Вселенная), Икосаэдр(Вода).

Тетра-4; Гекса-6;Окто-8;Додека-12;Икоси-20;Эдрон-грань

Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В+Р=2, где Г – число граней, В вершин, Р – рёбер данного многогранника.

Билет 6

1) Корень -й степени из числа — это число, -я степень которого равна .

Если — чётно.

• Тогда, если a < 0 корень n-ой степени из a не определен.

• Или если a ≥ 0, то неотрицательный корень уравнения называется арифметическим корнем n-ой степени из a и обозначается

Если — нечётно.

• Тогда уравнение имеет единственный корень при любом .

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}

Если показателем степени является целое положительное число:

, n > 0

Возведение в нулевую степень:

, a ≠ 0

Если показателем степени является целое отрицательное число:

, a ≠ 0

Прим: выражение не определено, в случае n ≤ 0. Если n > 0, то

Пример 1.

2) Теорема. Объём шара радиуса R равен 4/3*ПR³.

Док-во: Проведём ось Ох через центр шара

(.)М принадлежит ОХ

Через (.)М проведём плоскость перпендикуляр ОХ сечение шара – круг

r – радиус круга

х – абсцисса (.)М из треугольника ОМС – прямоугольника =>

r=корень OC²-OM²=корень R²-x²

т.к. S_кр=П(R²-x²)

из формулы для вычисления =>

V=R интеграл –R П(R²-x²)dx=ПR² R интеграл –R dx= П R инеграл –R x²dx=ПR²*x R|-R –Пx³/3 R|-R=4/3ПR³

Билет 7

1) Применение имеет широкое практическое применение. Он используется для решения множества задач прикладного характера:

1)Вычисление объёмов тел:

S(x) площадь сечения тела плоскости

V=b интеграл a S(x)dx

2)Работа переменно силы:

A= b интеграл a f(x)dx f(x) – сила которая действует на длины тела

3)Центр масс:

M= b интеграл a q(x)dx q(x) – плотность тела

4)Положение тела в пространстве:

x= b интеграл a U(t)dx U(x) – скорость тела

5)Скорость тела:

U= b интеграл a a(t)dx a(t) – ускорение

2) Ко́нус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа π на радиус окружности основания и на длину образующей конуса

где R – радиус основания конуса, а l – длина образующей.

Билет 8

1)Функция вида   y = a^x, в которой  a - положительное (постоянное) число, называют показательной функцией. Аргумент  x принимает любые действительные значения;  значениями функции обычно рассматривают только положительные числа, потому что иначе мы получаем многозначную функцию. Например, функция  y = 81^x имеет при  x = 1/4 четыре различных значения:  y = 3,  y = -3 ,  y = 3 i  и  y = -3 i. (Корень 4ой степени из 81, где i² = -1) Так как значениями функции обычно рассматривают только положительные числа, рассматриваем в качестве значения только  y = 3. Графики показательной функции для  a = 2  и  a = 1/2  представлены на рис.17. Они проходят через точку  ( 0, 1 ). При  a = 1 мы имеем график прямой линии,параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При  a > 1 показательная функция возрастает, a при  0 < a < 1 – убывает.   Основные характеристики и свойства показательной функции:

- область определения функции: - бесконечночть < x < + бесконечночть   ( т.e. x  R );

 

   область значений:  y > 0 ;

   - функция монотонна: возрастает при  a > 1 и убывает при  0 < a < 1;

   - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

   - нулей функция не имеет.

2) Многогранник — поверхность, составленная из многоугольников, которые ограничивают некоторое геометрическое тело, оно также иногда называется многогранником.

Многогранником называется фигура, состоящая из конечного числа плоских многоугольников (называемых гранями многогранника), расположенных в пространстве так, что:

1) любая сторона каждой из этих граней является стороной еще одной и только одной грани (называемой смежной с первой гранью);

2) для любых двух граней и можно указать такую цепочку граней , , , , что грань смежна с гранью , грань смежна с , , грань смежно с гранью ;

3) если грани и имеют общую вершину , то выбор граней , , , , о которых говорится в предыдущем пункте, можно осуществить так, чтобы все они имели ту же вершину .

Билет 9