14.6. Поверхностные интегралы

14.6.1. Двусторонние поверхности и их ориентация

Гладкая поверхность  называется двусторонней поверхностью, если при возвращении в исходную точку после обхода замкнутого контура, лежащего на  и не имеющего общих точек с ее границей, направление нормали к поверхности не меняется.

Совокупность всех точек поверхности с приписанными в них по указанному правилу нормалями называется определенной стороной поверхности.

Выбор определенной стороны поверхности называется ориентацией поверхности. Выбранная сторона – это положительная сторона поверхности. Для замкнутой поверхности положительной считается внешняя сторона.

Если  задана неявным уравнением , то сторона характеризуется одним из единичных нормальных векторов

. (14.31)

Если  задана явным уравнением , , то сторона характеризуется одним из векторов :

, . (14.32)

14.6.2. Поверхностный интеграл первого рода (пи-1)

Пусть: 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно-гладкой) поверхности  из пространства , ограниченной кусочно-гладким контуром, определена ограниченная скалярная функция ; 2) – произвольное разбиение  на n частей с площадями и диаметрами ; 3) – произвольный набор точек; 4) – интегральная сумма, соответствующая данному разбиению поверхности  и выбору точек .

Определение. Конечный предел интегральной суммы при , не зависящий ни от способа разбиения поверхности , ни от выбора точек , называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности :

.

Вычисление пи-1

Теорема 14.10. Если: 1) поверхность  задана неявным уравнением и есть решение этого уравнения при или – решение уравнения при , или – решение уравнения при , где – проекции  на плоскости соответственно; 2) между точками  и ее соответствующей проекцией установлено взаимно однозначное соответствие, то

, (14.33)

причем ПИ-1 существует, если существуют соответствующие двойные интегралы. Здесь – координаты вектора и находятся по формулам (14.31). ПИ-1 не зависит от выбора стороны поверхности.

Следствие. При явном задании  : в силу (14.32) из (14.33) получим

(14.34)

Некоторые приложения пи-1

1. Масса материальной поверхности. Пусть – поверхностная плотность материальной поверхности  площади s. Тогда масса этой поверхности .

2. Площадь искривленной поверхности  . Если принять в предыдущей формуле , то масса поверхности  численно равна площади s , т.е. .

3. Статические моменты материальной поверхности  с поверхностной плотностью и массой m относительно плоскостей соответственно равны: , , .

4. Координаты центра тяжести материальной поверхности  :

.

Задания. 1. Записать линейные свойства пи-1.

2. Записать свойство аддитивности для ПИ-1.

Пример 23. Вычислить ПИ-1 , где  – часть плоскости , вырезанная цилиндром (рис. 14.26).

Рис. 14.26

 Поверхность  проектируется на плоскость в круг . По формуле (14.34)

.

Из уравнения  следует , ; тогда

переходим к полярным координатам:

= =

=

=

=

. 

П ример 24. Вычислить ПИ-1 , где  – полная поверхность тетраэдра, отсекаемого от первого октанта плоскостью .

 Полная поверхность  тетраэдра складывается из его граней:

,

где (рис. 14.27).

Выпишем уравнения поверх- ностей и вычислим для них эле- менты :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Задав уравнения поверхностей в явном виде, мы определили тем самым плоскости проектирования их; – области, на которые проектируются .

.

По поводу последней записи напомним, что следует в подынтегральной функции независимые переменные (переменные из области ) оставлять без изменения, зависимую переменную заменить из явного уравнения соответствующей поверхности, а заменить выражением, полученным выше, причем .

Находим:

;

, так как области и переходят одна в другую заменой у на z;

;

.

.